diff --git a/research/complex-rank8-decoder-rigidity/CLAIM.md b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/CLAIM.md new file mode 100644 index 0000000000..7d813bf2df --- /dev/null +++ b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/CLAIM.md @@ -0,0 +1,37 @@ +# Local sprint claim (no pinned coordination issue exists) + +- Recorded: 2026-10-13T17:00Z; result recorded 2026-10-13 evening (UTC). +- Track: 40–49, structural decoder research. Assignment seed **47**, drawn once with + `python3 -c "import secrets; print(secrets.randbelow(100))"` (OS randomness) at 2026-10-13T16:59:56Z. +- Start commit: `2921874911956718fcaaaf9396fe8267b3cfa9f0` (main at 17:00Z, selected κ 0.001661960547713947, PR942, + complex side binds). Rebased before submission onto main `1b59b624d21924f8e3537cdc1ac52d3be6eda2fe` (selected κ 0.001672660197076918, PR1094); + the package is additive and its statements do not depend on the selected record. +- Object: rank-8 decoders in PR717's E-graph-only copy-cost model (D1(a)) on P112: is every rank-8 real + matrix with K_ii = 4 and K_ij = 0 on orthogonal root pairs diagonally gauge-equivalent to 2G? This is the + step PR717 D1(b) records as ARGUED (local rigidity D1(d) plus a sampled global search), and the model + PR968 lists as not covered. +- Method: pivot reduction on a live frame; D4-block / S(3,4,8) structure; propositional zero-exclusion with a + shipped DRUP refutation replayed by an independent RUP checker; exact algebra for the class and gluing + lemmas; exact rational checks of the corollary; numerical random-start probes as non-proof evidence. +- Candidates considered and not chosen: (1) the n ≥ 9 mixed-β floor on P112 (PR717 open problem; SAT/CP-SAT + attempts recorded as killed; too risky for the window); (2) k = 2 labellings of punctured in-cap graphs in + dimension ≤ 17 (PR446 §6.2 covers only the full graph; value for the construction unclear); + (3) realization pricing of PR968's asymmetric centres (requires the complex word compiler; PR717 recorded + the price without shipping it). +- Expected deliverable: research note / scoped structural result with a written proof and an exact + verifier. No κ claim. +- Expected finish: same day (hard stop 2026-10-13 23:01 UTC). + +## Result + +- Delivered as `research/complex-rank8-decoder-rigidity/` (research note / scoped structural result, no κ claim). +- Theorem: on P112 and P120 every rank-≤8 solution of the E-graph system is D(2G)D^{-1}. Corollary: eight + costly terms in the E-graph model have PR968 normal-form supports, hence cst ≥ 64 (P112) / 72 (P120). +- Extension (same PR, second commit batch): the theorem transfers to the 336 P104 units of type (2,2,2,2) + (cst ≥ 56); zero exclusion holds on P111 and all 1260 P104 units; the missing proof input for the other + P104 types and P111 is recorded. +- Reproduce: `python3 -I -B research/complex-rank8-decoder-rigidity/verify.py` (and `--live P120`), about 10 s CPU (up to ~30 s wall) each; 61 checks on P112, 41 on P120. +- Overlap re-checked against the PR list (through #1210) and the discussion board before submission; the concurrent + #1191 (one-sided mask rigidity, any term count) and #1180 (all-pairs, both factors root-linear) are complementary, + not duplicates; see README. +- Submitted: https://github.com/CrocSwap/integer-mult-bounds/pull/1212 (status: research note / scoped structural result, no κ claim). diff --git a/research/complex-rank8-decoder-rigidity/PROOF.md b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/PROOF.md new file mode 100644 index 0000000000..5940f280c1 --- /dev/null +++ b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/PROOF.md @@ -0,0 +1,396 @@ +# Gauge rigidity of rank-8 E-graph-exact complex decoders + +Every finite fact used below is marked **[check: X]** and is recomputed by `verify.py` (check id `X`), +with exact integer, F2 or rational arithmetic. One step (Lemma 4) is a propositional refutation that +`verify.py` replays from a shipped DRUP proof with its own unit-propagation checker. Everything else is +written argument. No step cites a SAT solver's answer. Numbers marked *(recorded)* are reported from +runs that `verify.py` does not repeat and are not load-bearing. + +## 0. Setting and statement + +The 120 root lines of E8 are represented by roots `r_i` of norm 2; `G_ij = ` is the integer Gram +matrix, with off-diagonal values in {0, +-1} **[check: A.gram-offdiag]**. Two distinct lines are +*orthogonal* if `G_ij = 0` and *odd* if `G_ij = +-1`. The label pairing of PR717 (B14 model) and PR968 is +`N_ij = (G_ij + 1) mod 2`: it is 1 on the diagonal and on orthogonal pairs (the *E-graph*) and 0 on odd +pairs; it has F2-rank 9 with distinct rows **[check: A.label-rank]**, and it equals the Gram matrix of +PR717's labels `u_i` in F2^9 under the form S9 by PR968, PROOF.md eq. (1). + +A live set L is P120 (all lines) or P112 (all lines but the frame FRAME0 = {e_2a +- e_2a+1}, the frame of +PR717's `e8model.py` in the standard coordinates). +An element w of W(E8) permutes the lines and maps the Gram matrix to `S G' S` for a diagonal sign matrix S +(`G_{π(i)π(j)} = s_i s_j G_ij`, the signs coming from the chosen root representatives), so it preserves the +diagonal, orthogonality, the pairing N and the rank condition, and sign matrices lie in the diagonal torus: +if K solves (E) on w(L) then `Pᵀ K P` solves (E) on L, and `K = D (2G) D^{-1}` transports to the same form. +Since W(E8) acts transitively on the 2025 frames of E8 **[check: B.frame-transitivity]**, Theorem 1 for P112 +holds verbatim for the complement of any frame — in particular for the Hamming coordinate frame {2e_i} that +the shipped complex word punctures (PR717 README row Y1), as well as for PR717's FRAME0. + +**E-graph exactness (PR717 D1(a)).** In the copy-cost model a term whose row and column supports are +label-orthogonal costs 0. Every odd pair is label-orthogonal, so each odd entry of the target `2G` can be +fixed by a single cost-0 term. The costly terms `x_k y_k^T` therefore only have to satisfy + + K := sum_k x_k y_k^T, K_ii = 4, K_ij = 0 whenever r_i and r_j are orthogonal, (E) + +with the entries of K on odd pairs free. A decoder with exactly 8 costly terms has `rank K <= 8`. + +**Theorem 1 (rigidity).** Let L be P112 or P120 and let K be a real L x L matrix of rank at most 8 that +satisfies (E). Then `rank K = 8` and there is a diagonal matrix D with nonzero diagonal such that + + K = D (2 G_L) D^{-1}, i.e. K_ij = 2 G_ij d_i / d_j . + +In particular no odd entry of K vanishes, and the solution set of (E) in rank 8 is a single orbit of the +diagonal torus. + +**Corollary 2 (eight costly terms in the E-graph model).** On P112 every decoder with exactly 8 costly terms +has copy cost `cst >= 64`, and on P120 `cst >= 72`. More precisely the costly terms have PR968's normal form: +`x_k = D R a_k`, `y_k = D^{-1} R b_k` with `A B^T = 2 I_8`, so their supports are `C(a_k) ∩ L` and +`C(b_k) ∩ L` (the live lines not orthogonal to the normals), and PR968's theorem applies to `(RA, RB)`. + +What this adds to the record. PR717 D1(b) obtains `cst >= 64` for exactly eight costly terms on P112 from a +census of hyperplane-flat complements; the step "the costly supports are hyperplane-flat complements +(fundamental-weight orbits)" is recorded there as ARGUED from the tangent-space rigidity (d) plus the orbit +census, with global rigidity only sampled (10 of 12 random starts, RECORDED). That step does not hold for a +general dual basis: the supports `C(a_k)` of Corollary 2 are hyperplane-flat complements only when the roots +orthogonal to `a_k` span a hyperplane, and a sampled dual basis has normals whose orthogonal roots span at +most six dimensions **[check: E.sample-normals]**. Theorem 1 proves the global rigidity statement, and +Corollary 2 replaces the flat-support step by PR968's normal form, whose puncture theorem (a census for +hyperplane-flat normals together with its Lemma 1 for all other normals) carries the floor. So the conclusion +of D1(b) is a theorem by a different route, and PR968's eight-term floor, proved there under all-pairs +exactness, holds under E-graph exactness for decoders with exactly eight costly terms, for p = 0 and for the +puncture of any frame. + +## 1. Pivot reduction + +Fix a live frame F: eight mutually orthogonal live lines. For f, f' in F, (E) gives `K[F, F] = 4 I_8`, so +`rank K >= 8`, hence `rank K = 8`. A rank-8 matrix with a nonsingular 8 x 8 submatrix on rows F and +columns F equals `K[:, F] K[F, F]^{-1} K[F, :]`, so + + K = (1/4) K[:, F] K[F, :]. (1) + +Write `a_i := K[i, F]` and `b_j := K[F, j]^T` (vectors in R^F). Then `K_ij = (1/4) a_i . b_j`, and (E) becomes + + a_f = b_f = 4 e_f (f in F), a_i . b_i = 16, a_i . b_j = 0 (i != j orthogonal). (2) + +For a non-pivot line i and a pivot line f orthogonal to i, `a_if = K_if = 0`; so a_i and b_i are supported on + + T_i := { f in F : G_if != 0 }. + +Conversely, if vectors a_i, b_j supported on F satisfy (2) then `K_ij := (1/4) a_i . b_j` satisfies (E) and has rank <= 8. + +The pivot used by `verify.py`: for P120, F = FRAME0; for P112, F is the even class of one FRAME0-block +together with the even class of the complementary block (Section 2 explains these words), so that the +eight punctured lines are two whole classes relative to F, both fully punctured +**[check: A.pivot-frame, B.punctured-classes]**. The choice matters: Lemmas 3, 5 and 6 need every live +non-pivot line to lie in a complete class, and among the 1260 live frames of P112 only 28 have this property +(for a generic live frame eight classes lose one line each) *(recorded, from a reviewer's re-implementation)*; +one such pivot suffices. + +## 2. D4 blocks relative to the pivot + +**Lemma 2.** Relative to a frame F: + +(a) every one of the 112 non-pivot lines i is odd to exactly four pivot lines and orthogonal to the other +four, and its inner products with the four are +-1 **[check: A.pivot-odd-four, A.pivot-signs]**. Write +`eps_i = (G_if)_{f in T_i}` in {+-1}^4 for its sign vector (defined up to the overall sign of r_i). + +(b) The 14 distinct supports T form the Steiner system S(3,4,8) on F: any three pivot lines lie in exactly +one block, any two in exactly three, two distinct blocks meet in 0 or 2 points, and the complement of a +block is a block **[check: B.blocks-14, B.steiner]**. Each block carries 8 of the 112 non-pivot lines. The +parity of the number of minus signs in eps_i splits them into two *classes* of four; each class is a 4-frame +(four mutually orthogonal lines) and its 4 x 4 sign matrix `H_C = (eps_if)` has orthogonal rows and +orthogonal columns, i.e. is a Hadamard matrix **[check: B.classes-28, B.class-4frames, B.hadamard]**. +(The eight lines of a block together with its four pivot lines — twelve lines, 24 roots — form a D4 root +system, whose three mutually odd 4-frames are the pivot lines and the two classes.) + +(c) Orthogonality rule: for distinct non-pivot lines, `|T_i ∩ T_j|` is 0, 2 or 4 and + + 2 G_ij = sum over f in T_i ∩ T_j of eps_if eps_jf . (3) + +So i and j are orthogonal iff the overlap is empty, or the overlap is a pair {k, k'} with +`eps_ik eps_jk = - eps_ik' eps_jk'`, or the overlap is the whole support and i, j lie in the same class +**[check: B.orthogonality-rule]**. (For the last case: rows of the same class differ in an even number of +positions, two for distinct rows of a Hadamard matrix, giving `G_ij = 0`; rows of different classes differ +in an odd number d of positions, so `2 G_ij = 4 - 2d = +-2`.) + +(d) In each complete live class (the only ones used below) and for each pair of columns {c, c'} of its +support, the products `eps_ic eps_ic'` take the value +1 on two rows and -1 on the other two +**[check: B.groups]** (columns of a Hadamard matrix are orthogonal). Call the two pairs of rows the *groups* of (C, {c, c'}). Two rows of one class have the same +parity, so the product of their entrywise products over all four columns is +1; hence the pairing for +{c, c'} equals the pairing for the complementary column pair. The three pairings so obtained are three +distinct perfect matchings of the four rows **[check: B.three-matchings]**: if the pairings for {a, b} and +{a, c} coincided, two rows i, j of a common group would satisfy +`eps_ia eps_ja = eps_ib eps_jb = eps_ic eps_jc`, hence also `eps_id eps_jd` equals that value (parity), so +`eps_i = +- eps_j`, contradicting the orthogonality of the rows of H_C. + +(e) For P112 with the pivot of Section 1, the eight punctured lines are exactly two whole classes, in a block +and in its complementary block, and the remaining 26 classes are complete and live; for P120 all 28 classes +are complete. In both cases every block has a complete live class and every live non-pivot line lies in +one **[check: B.punctured-classes, D.block-live-class, D.complete-classes]**. + +*Proof of (a).* `sum_f G_if^2 / 2 = |r_i|^2 = 2` because `f/sqrt2` is an orthonormal basis; `G_if = +-2` +would mean `r_i = +-f`, so exactly four entries are +-1. (b)-(e) are finite computations; the rule (3) is the +expansion of `` in that orthonormal basis. ∎ + +With Lemma 2, the equations (2) for non-pivot lines read: + + (E2) a_ik b_jk + a_ik' b_jk' = 0 for i ⊥ j with T_i ∩ T_j = {k, k'}; + (E4) sum_{f in T} a_if b_jf = 0 for i != j in the same class (support T); + (E0) a_i . b_i = 16; + +and there is no equation for odd pairs or for pairs with disjoint supports. + +## 3. Class matrices + +**Lemma 3.** Let C = {i_1, .., i_4} be a complete live class with support T, and let `A_C = (a_{i_p f})` and +`B_C = (b_{i_p f})` (4 x 4, rows indexed by the class, columns by T). Then `A_C B_C^T = 16 I_4`; in +particular A_C and B_C are nonsingular and `B_C = 16 A_C^{-T}`. + +*Proof.* (E4) and (E0). ∎ + +## 4. Zero exclusion + +**Lemma 4.** For every live non-pivot line i and every f in T_i: `a_if != 0` and `b_if != 0`. + +*Proof.* Consider the pattern of zero entries of all a_i and b_i on their supports (2·4·|L∖F| Boolean +unknowns, plus auxiliary variables: Tseitin equivalences for the products, and one-directional selectors for +the transversals, which can always be set consistently for a pattern that satisfies the condition). The following conditions are necessary for the pattern of any solution +of (2): + +- (Z2) from each equation (E2), in both orders (a_i.b_j and a_j.b_i): the two products are both zero or both + nonzero (if exactly one vanished the sum could not); +- (Z4) from each equation (E4): not exactly one of the four products is nonzero; +- (Z0) from each (E0): some product `a_if b_if` is nonzero; +- (ZT) from Lemma 3: the zero patterns of A_C and B_C of every complete class admit a transversal (a + permutation of positions all nonzero), since a 4 x 4 matrix whose every transversal contains a zero is singular. + +`verify.py` writes these conditions as a CNF with deterministic variable numbering, asserts the clause-family +counts and the digest of the CNF (a regression pin against the builder, not a certificate of necessity — that +rests on the four families being necessary conditions, as listed above) **[check: C.cnf-size, C.cnf-digest]**, and checks that the empty pattern +satisfies it **[check: C.trivial-pattern-satisfies]**. Conjoined with the clause "at least one entry is +zero", the CNF is unsatisfiable: the shipped file `proof-.drup` is a reverse-unit-propagation refutation, +and `verify.py` replays it with its own propagation routine (deletion steps are ignored, which only enlarges +the clause database and keeps the replay sound) **[check: C.rup-refutation]**. Hence the only zero pattern +compatible with (2) is the empty one. + +Only (Z2) and (Z0) are needed: the reduced CNF with just the two-term and diagonal families (its counts and +digest asserted as well) is refuted by the shipped `proof--two-diag.drup` +**[check: C.cnf-size-reduced, C.rup-refutation-reduced]**. So Lemma 4 does not depend on Lemma 3; (Z4) and +(ZT) are included in the full CNF only as additional necessary conditions. ((Z2) together with (ZT) alone +also suffices *(recorded)*.) ∎ + +Remarks. Unit propagation alone refutes none of the 832 (P112) / 896 (P120) single-zero hypotheses +*(recorded)*; the refutation needs case analysis, which is why it is shipped as a proof rather than written +out. A deletion-minimal unsatisfiable core for one representative hypothesis (the variable ('a', 4, 2): line +4 and pivot line 2 in the global line numbering, on P112) still contains 380 of the 5076 +equation groups — 311 two-term equations, 12 four-term equations, 37 diagonal conditions and 20 +transversal conditions — over 73 lines *(recorded)*, so no short hand argument is offered. Any solver can +regenerate the proofs from the DIMACS file written by `verify.py --dimacs`; `make_proof.py` does so with +python-sat. The controls of Section F show that the checker rejects a proof with an inserted non-RUP lemma +and a proof truncated before its empty clause (a corruption that happens to leave every lemma RUP would, +correctly, still be accepted), and that the refutation genuinely uses the "some zero" clause. + +## 5. Within-class structure + +**Lemma 5.** Let C be a complete live class with support T and sign matrix H = H_C. There are nonzero +scalars `delta_i` (i in C) and `gamma_f` (f in T) such that + + a_if = delta_i eps_if gamma_f and b_if = 4 delta_i^{-1} eps_if gamma_f^{-1}. + +*Proof.* Step 1 (parallel groups). Fix a column pair {c, c'} ⊂ T and a group {i, i'} of (C, {c, c'}), so that +`eps_ic eps_ic' = eps_i'c eps_i'c' =: s`. By Lemma 2(b) two other blocks S', S'' contain {c, c'}. Any line j +in them with `eps_jc eps_jc' = -s` is orthogonal to both i and i' by the rule (3) (the overlap is exactly +{c, c'}); at least one such j is live **[check: D.class-witnesses]**. The two equations (E2) say that the +vectors `(a_ic, a_ic')` and `(a_i'c, a_i'c')` are both orthogonal to `(b_jc, b_jc')`, which is nonzero by +Lemma 4. Two vectors of R^2 orthogonal to the same nonzero vector are parallel: + + a_ic a_i'c' = a_ic' a_i'c . (4) + +Step 2 (sign normalisation). Put `u_if := a_if eps_if` (all nonzero by Lemma 4). Since `eps_ic' = s eps_ic` +and `eps_i'c' = s eps_i'c`, equation (4) reads `s eps_ic eps_i'c (u_ic u_i'c' - u_ic' u_i'c) = 0`, i.e. + + u_ic / u_ic' = u_i'c / u_i'c' for the two rows i, i' of a group of (C, {c, c'}). + +Step 3 (solving the ratio relations). By Lemma 2(d) the three pairings of the rows are three distinct +perfect matchings; label the rows 1..4 and the columns a, b, c, d so that the pairings are {1,2}|{3,4} for +the column pairs {a,b} and {c,d}, {1,3}|{2,4} for {a,c} and {b,d}, and {1,4}|{2,3} for {a,d} and {b,c}. +Dividing each row of u by its first entry (this is the row scaling delta_i), write the rows as +`(1, x_i, y_i, z_i)`. The group relations are + + x_1 = x_2 =: x, x_3 = x_4 =: X; y_1 = y_3 =: y, y_2 = y_4 =: Y; z_1 = z_4 =: z, z_2 = z_3 =: Z; + y Z = Y z, y z = Y Z (pair {c,d}); x Z = X z, x z = X Z (pair {b,d}); x Y = X y, x y = X Y (pair {b,c}). + +From `yZ = Yz` and `yz = YZ`: `y^2 zZ = Y^2 zZ`, so `Y = +-y` and correspondingly `Z = +-z`, `X = +-x` with +a common sign. Two cases remain: + +- (i) `X = x, Y = y, Z = z`: all four rows of u are equal to `gamma := (1, x, y, z)`. Then + `a_if = delta_i eps_if gamma_f`, which is the claim. +- (ii) `X = -x, Y = -y, Z = -z`: the rows of the row-normalised u are `(1,x,y,z), (1,x,-y,-z), (1,-x,y,-z), + (1,-x,-y,z)`, i.e. `u = diag(delta) H_0 diag(gamma)` with H_0 the Sylvester matrix whose group structure is + the one fixed above. The sign + matrix H of the class has the same group structure for every column pair; two +-1 matrices with identical + group structures agree up to row and column sign changes (normalise the first row and the first column of + both to +1 — this does not change the groups — then the group of row 1 for the pair {a, c} identifies the + rows with a +1 in column c). So `H = D_r H_0 D_c` for sign matrices D_r, D_c, and + `A_C = diag(delta) (H_0 ∘ H) diag(gamma) = diag(delta) D_r J D_c diag(gamma)` with J the all-ones matrix, + of rank 1. This contradicts Lemma 3. + +Hence (i) holds. Finally `H H^T = 4 I` gives `H^{-T} = H / 4`, and Lemma 3 gives +`B_C = 16 A_C^{-T} = 16 diag(delta)^{-1} (H/4) diag(gamma)^{-1}`, which is the formula for b. ∎ + +The control **[check: F.single-block-not-rigid, F.minor-obstruction]** exhibits a zero-free nonsingular class +matrix (the 4 x 4 Pascal matrix) that satisfies every equation inside its own block — Lemma 4 does not exclude +it — but is not a row/column scaling of H, and the group minor (4) that a live witness forces to vanish is +nonzero for it; the cross-block equations are what make the structure rigid. + +## 6. Gluing the classes + +Write `gamma^C` for the column scaling of class C from Lemma 5 (it is determined up to the common factor +that can be moved into the delta's). + +**Lemma 6.** There are nonzero scalars `g_f` (f in F) and `c_C` (one per complete live class) with +`gamma^C_f = c_C g_f` for every complete live class C and every f in its support. + +*Proof.* Let C, C' be complete live classes in distinct blocks S, S' with `S ∩ S' = {k, k'}`. For every j in +C', exactly two rows i of C are orthogonal to j, namely those with `eps_ik eps_ik' = -eps_jk eps_jk'` +(rule (3) with Lemma 2(d); checked for every such ordered pair of classes **[check: D.gluing-witnesses]**). +Substituting Lemma 5 into (E2) for such a pair i, j and dividing by `4 delta_i / delta_j`: + + eps_ik eps_jk gamma^C_k / gamma^C'_k + eps_ik' eps_jk' gamma^C_k' / gamma^C'_k' = 0 . + +Orthogonality with overlap {k, k'} means `eps_ik eps_jk = - eps_ik' eps_jk'`, so + + gamma^C_k / gamma^C_k' = gamma^C'_k / gamma^C'_k' . (5) + +Define `rho_kk' := gamma^C_k / gamma^C_k'` for any complete live class C whose block contains k and k'. By +(5) this does not depend on C: two classes of distinct blocks through {k, k'} are related directly, and two +classes of the same block are both related to a class of one of the two other blocks through {k, k'} +(Lemma 2(b)), which exists because every block has a complete live class **[check: D.block-live-class]**. +For three distinct pivot lines k, k', k'' there is exactly one block containing all three (Lemma 2(b)), it has +a complete live class, and in it `rho_kk' rho_k'k'' = rho_kk''`. Fix a base point k_0 in F and put +`g_k := rho_{k k_0}` (so `g_k0 = 1`). For any k, k': `rho_kk' = rho_{k k_0} rho_{k_0 k'} = g_k / g_k'` (the +triple {k, k', k_0} lies in a block; the degenerate cases are trivial). Hence for every class C and k, k' in +its support `gamma^C_k / gamma^C_k' = g_k / g_k'`, i.e. `gamma^C = c_C g|_T` for a scalar c_C. ∎ + +## 7. Proof of Theorem 1 + +By Lemmas 5 and 6, for every live non-pivot line i (whose class is complete, Lemma 2(e)) and f in T_i, + + a_if = d'_i eps_if g_f, b_if = 4 (d'_i g_f)^{-1} eps_if, d'_i := delta_i c_C != 0, + +and `a_if = b_if = 0` for f not in T_i, where also `eps_if = G_if = 0`. Put `d_i := d'_i / 2` for non-pivot +lines and `d_f := 1 / g_f` for pivot lines. Since `eps_if = G_if` on T_i, + + K_if = a_if = 2 G_if d_i / d_f, K_fi = b_if = 2 G_if d_f / d_i, K_ff' = 4 δ_ff' = 2 G_ff' . + +So `K[:, F] = D (2 G[:, F]) D_F^{-1}` and `K[F, :] = D_F (2 G[F, :]) D^{-1}`. With `R` the live-root matrix +(rows r_i) and `R_F` its pivot rows, `R_F^T R_F = 2 I_8`, hence `G[:, F] G[F, :] = R R_F^T R_F R^T = 2 G`. +By (1), + + K = (1/4) D (2 G[:, F]) (2 G[F, :]) D^{-1} = D (2 G) D^{-1} . + +`verify.py` recomputes this assembly in exact rational arithmetic for one fixed random choice of scalings per +live set: with the Lemma 5 forms +and glued column scalings `gamma^C = c_C g|_T`, every equation of (2) holds and `(1/4) K[:,F] K[F,:]` equals +`D (2G) D^{-1}` with exactly these d_i, d_f **[check: F.assembly-control]**; with class-dependent column +scalings (E0) and (E4) still hold but two-term equations fail, so Lemma 6 is a genuine constraint +**[check: F.assembly-needs-gluing]**. It also confirms that `D (2G) D^{-1}` has rank 8 and satisfies (E) for +a random rational D **[check: E.gauge-solves]**, and that the rank hypothesis is essential: `2G + e_i e_j^T` +on an odd pair satisfies (E), has rank 9 and is not of gauge form **[check: F.rank9-not-gauge]**. ∎ + +## 8. Proof of Corollary 2 + +Let the costly terms be `x_1 y_1^T + ... + x_8 y_8^T = K` with K satisfying (E) (cost-0 terms contribute +nothing on the E-graph). By Theorem 1, `K = D R (2 I) R^T D^{-1}` with R of rank 8 (the live roots span R^8). +The column space of K is that of `D R`, and the row space is that of `D^{-1} R`; so the 112 x 8 (or 120 x 8) +matrices X = [x_k] and Y = [y_k] satisfy `X = D R A`, `Y = D^{-1} R B` for 8 x 8 matrices A, B, and +`R (A B^T - 2 I) R^T = 0` forces `A B^T = 2 I` because R has full column rank. The support of +`x_k = D R a_k` is `{ i : != 0 } = C(a_k) ∩ L`, since D is diagonal with nonzero entries; likewise +for y_k **[check: E.factorisation, E.normal-form-supports]**. + +Now `(R A, R B)` is itself an exact 8-term decoder in PR968's sense on the same live set: `(RA)(RB)^T = +R (2I) R^T = 2G` on all live pairs, and its terms have the same supports — hence the same per-term costs — +as the costly terms `x_k, y_k`, because D is diagonal and invertible. PR968's theorem (PROOF.md §4 there, +called Theorem 4 here for convenience) therefore applies to it literally and gives `cst >= 72 - p` for a +puncture of `p <= 15` lines: 64 on P112 (p = 8) and 72 on P120 (p = 0). The coordinate decoder attains both +bounds **[check: E.coordinate-decoder]**; a sampled dual basis gives eight terms of cost 9 +**[check: E.sample-cost]**. Corollary 2 thereby inherits PR968's one cited, not recomputed, premise: the +classification of the hyperplane flats of the E8 arrangement into eight W(E8)-types (PR968 (F6)). ∎ + +## 9. What is and is not covered + +- **Exactly eight costly terms.** Corollary 2 needs exactly eight costly terms at the factorisation step + (square A, B) and in PR968's Theorem 4. With nine or more costly terms Theorem 1 still describes the sum K + whenever its rank is 8, but the factorisation is no longer determined and no statement about the term + supports or costs follows; when `rank K >= 9`, Section 1 fails at the first step. PR717's mixed-β problem + for n >= 9 is therefore untouched; in the E-graph model its locus is the rank >= 9 solutions of the same + system together with the factorisations of the rank-8 solutions `D (2G) D^{-1}` into nine or more terms. +- **Live sets.** P112 (the complement of any frame, by W(E8)-transitivity), P120, and — by Section 10 — the + 336 P104 units of type (2,2,2,2). For P111, the 28 type-(4,4) P104 units and the 896 admissible P104 units + (PR717's among them) Section 10 establishes zero exclusion and records exactly which further input of the + proof is missing; rigidity there is not claimed (numerical evidence only). +- **Coefficients.** Stated for real coefficients, as in PR717 and PR968. The argument of Sections 1–7 is + algebraic and uses only that the coefficients lie in a field of characteristic zero (division by 2 and 4, + `y^2 = Y^2 => Y = +-y`, zero patterns, ranks), so Theorem 1 holds verbatim over C; Corollary 2 over C would + additionally need PR968's theorem over C, which is the subject of PR1077 and is not invoked here. +- **Not a construction** and no κ change: the theorem constrains the eight-term class and leaves the + copy-cost question for larger term counts open. +- **Concurrent result.** PR1191 (mightyOil, opened after this package was drafted) shows that E-graph + exactness already forces the all-pairs identity when one factor is root-linear, for any term count; its + hypothesis and the rank-8 hypothesis here are incomparable (the solutions `D(2G)D^{-1}` of Theorem 1 have + factors `DRA`, `D^{-1}RB` that are in general not root-linear), and the two results together leave open, + on P112, exactly the E-graph decoders of rank >= 9 with both factors off the root code. + +## 10. Beyond one frame: what transfers to P111 and to the P104 units + +The written proof uses four finite inputs about a live set L with a live pivot frame F: (I1) every live +non-pivot line lies in a complete class (Lemmas 3, 5); (I2) zero exclusion (Lemma 4); (I3) the group witnesses +of Lemma 5 Step 1; (I4) every block has a complete live class (Lemma 6). Section G of `verify.py` re-establishes +whichever of these hold on representative units beyond P112, with the pivot chosen (deterministically) to +minimise the number of incomplete classes, and transports the conclusions by symmetry. + +**Transport.** The line permutations induced by the root reflections and by products of two root reflections +that map FRAME0 to itself (204 of them) generate a subgroup of the stabiliser of FRAME0 in W(E8). It acts +transitively on the 112 lines of P112, so all 112 single-line punctures P111 are equivalent, and it has +exactly three orbits on the 1260 frames inside P112, of sizes 28, 336 and 896, distinguished by how the frame +meets the classes relative to FRAME0 — types (4,4), (2,2,2,2) and (1,…,1) **[check: G.stabiliser-generators, +G.line-orbits, G.frame-orbits]**; PR968's 364 inadmissible frames are the first two orbits and its 896 +admissible frames (PR717's P104 among them) the third **[check: G.pr717-p104-orbit]**. Since each such +permutation preserves orthogonality, N, the rank condition and the torus orbits (Section 0), every statement +below proved for a representative unit with pivot F holds for every unit of its orbit with the transported +pivot. + +**Lemma 8 (zero exclusion beyond one frame).** With the pivots listed by `verify.py`, no entry of a_i or b_i +vanishes on its block for any rank-8 solution of (E) on P111, nor on any of the 1260 P104 units: for P111 and +for the types (2,2,2,2) and (1,…,1) the two-term and diagonal conditions alone refute "some entry is zero"; for +the type (4,4) those two families admit a zero pattern and the refutation uses all four families, i.e. Lemma 3 +**[check: G.P111.zero-exclusion, G.P104-44.zero-exclusion, G.P104-2222.zero-exclusion, +G.P104-11111111.zero-exclusion]**. + +**Theorem 1′ (the 336 units of type (2,2,2,2)).** For the representative unit `P112 minus {2,3,18,19,40,41,52,53}` +with pivot `{12,13,22,23,30,31,36,37}` all 24 live classes are complete, zero exclusion holds, every complete +class has its live group witnesses and every block has a complete live class +**[check: G.P104-2222.unit, G.P104-2222.class-witnesses, G.P104-2222.theorem-transfers]**. The proof of +Sections 1–7 therefore applies verbatim: every rank-≤8 solution of (E) on such a unit is `D (2G_L) D^{-1}`. +Corollary 2 follows as in Section 8 with PR968's floor at p = 16: every decoder with exactly eight costly terms +in the E-graph model on these 336 P104 units has cst ≥ 56. + +**What does not transfer (recorded by the same checks).** + +- *Type (4,4), 28 units.* The pivot that makes every live class complete is the third 4-frame of the two D4 + blocks spanned by the two punctured frames, so those two blocks have no live line at all and only 12 of the + 14 blocks carry a complete live class **[check: G.P104-44.unit]**. Lemma 6's cocycle step has no witness for + triples inside those two blocks, so rigidity is not established there (numerically: 8 of 8 random starts + converge to gauge-equivalent solutions, seed 5; *recorded*). Other pivots give all 14 blocks a live class but + leave eight classes incomplete. +- *Type (1,…,1), 896 units (PR717's P104 among them).* Zero exclusion and the witnesses hold, but four classes + keep only two live rows **[check: G.P104-11111111.unit]**; for a two-row class the group relations of Lemma + 5 constrain only one column pairing, leaving a one-parameter family inside the class, so Lemma 5 does not + apply. (Numerically rigid: README, "Numerical probes".) +- *P111, 112 units.* Zero exclusion and the witnesses hold; one class keeps three live rows and its block has + no complete class **[check: G.P111.unit]**. For a three-row class the relations of the three pairings still + force the two cases of Lemma 5 Step 3 (with `z_1 = ±z` in place of the four-row computation), and case (ii) + is excluded because the 3 × 4 class matrix has rank 3; writing out that variant and the gluing with a + three-row class is the smallest next step, not done here. + +The pivots, class profiles, CNF digests and proof hashes of all four units are pinned in `verify.py` and +written to the certificate. diff --git a/research/complex-rank8-decoder-rigidity/README.md b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/README.md new file mode 100644 index 0000000000..1bf959ace7 --- /dev/null +++ b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/README.md @@ -0,0 +1,186 @@ +# Rank-8 complex decoders are gauge-rigid: the E-graph-only eight-term copy-cost floor (no new κ) + +**Status: research note and scoped structural result (a proof). No κ claim, no new supplier.** The selected +record (κ = 0.001672660197076918 from PR1094 at the base commit) and every existing file are +unchanged; this package only adds `research/complex-rank8-decoder-rigidity/`. The complex supplier's decoder +constant discussed below (cst = 64 on P112) is the same in the PR942 lineage on which the work started and +in the current selection. + +## What this establishes + +The selected complex supplier is the binding side of the current κ. Its copied-information cost is the +decoder constant `cst = 64` on the P112 unit (112 E8 root lines, labels in F2^9), which enters the T37 +deficit `37·(8·112 − 9·64) = 11840`; one cst unit is worth about 2.8% of the complex saving b. + +PR717 (DreamingOfClouds, open) set up the exact copy-cost model for this decoder. In its model (row D1(a)) +a term whose row and column supports are label-orthogonal costs nothing, every odd root pair is +label-orthogonal, so exactness is only required on the *E-graph* (the diagonal and the orthogonal pairs); +the odd entries of the target `2G` are free. PR717 then showed (D1(b)) that **with exactly 8 costly terms** +the cost is at least 64, but its support step (that the costly supports are hyperplane-flat complements, +the W(E8)-orbits of the fundamental weights) was recorded as ARGUED: it rested on the tangent-space +rigidity at the coordinate decoder (D1(d)) plus an orbit census, with *global* rigidity only sampled (10 of +12 random starts, RECORDED). PR968 (merged) proved the corresponding floor rigorously, but only for decoders +exact on **all** live pairs, where the normal form `D = RA, T = RB` follows at once from `rank 2G = 8`; it +lists E-graph-only exactness as not covered. The gap between the two models is exactly the question +whether E-graph-only exactness admits rank-8 decoders outside that normal form. + +This package closes that gap: + +**Theorem 1 (rigidity).** On P112 (and on the unpunctured P120), every real matrix K of rank ≤ 8 with +`K_ii = 4` and `K_ij = 0` on orthogonal root pairs equals `D (2G) D^{-1}` for a diagonal matrix D with +nonzero entries. The rank-8 solutions of the E-graph system form a single orbit of the diagonal torus, and +no odd entry of such a K vanishes. "P112" means the 120 lines minus *any* frame: W(E8) acts transitively on +the 2025 frames (checked) and the E-graph system is W(E8)-invariant, so the statement covers PR717's +FRAME0 `{e_2a ± e_2a+1}` and the coordinate frame `{2e_i}` of the Hamming description used by the shipped +word alike. + +**Corollary 2 (eight costly terms).** In PR717's E-graph-only model, every decoder with exactly eight costly +terms has PR968's normal-form supports `C(a_k)`, `C(b_k)` for a dual basis `A Bᵀ = 2I`; `(RA, RB)` is then +literally an all-pairs-exact decoder with the same supports and costs, so PR968's Theorem 4 gives +`cst ≥ 64` on P112 and `cst ≥ 72` on P120. This reaches the conclusion of PR717 D1(b) by a proved route +(the supports of a general dual basis are *not* hyperplane-flat complements, so PR968's Lemma 1 is what +carries the floor), and extends PR968's floor to E-graph exactness at p = 0 and for any frame puncture. + +**Beyond one frame (PROOF.md §10).** The stabiliser of FRAME0 (generated by single and double root +reflections) is transitive on the 112 lines and has three orbits on the 1260 frames inside P112 (sizes +28/336/896 — PR968's inadmissible and admissible frames). On one representative per orbit and on P111, the +verifier re-establishes whichever finite inputs of the proof hold: **Theorem 1 transfers verbatim to the 336 +P104 units of type (2,2,2,2)** (all classes complete, zero exclusion, witnesses), giving `cst ≥ 56` there for +eight costly terms; zero exclusion (Lemma 4) holds on P111 and on *all* 1260 P104 units, with the type-(4,4) +case needing the full set of necessary conditions; for the 896 admissible units (PR717's P104 among them), +the 28 type-(4,4) units and P111 the missing input is named exactly (incomplete classes, resp. two blocks +without a live class), and rigidity there rests on numerical evidence only. + +What this does **not** do: it says nothing about decoders with nine or more costly terms (PR717's open +mixed-β problem; in the E-graph model its locus is the rank ≥ 9 solutions of the same system together with +the ≥ 9-term factorisations of the rank-8 solutions), about rigidity on P111 and on the other 924 P104 units +(numerical evidence only), or about any physical word. It changes no κ. + +## Reproduce + +From the repository root, Python 3.10+, standard library only, about 10 s of CPU (up to ~30 s wall) per unit: + +```sh +python3 -I -B research/complex-rank8-decoder-rigidity/verify.py # P112 +python3 -I -B research/complex-rank8-decoder-rigidity/verify.py --live P120 # unpunctured control +``` + +Expected: 61 lines `PASS` on P112 (41 on P120), no `FAIL`, exit status 0, and the final lines + +```text +PASS_COMPLEX_RANK8_DECODER_RIGIDITY: live P112; pivot [2, 3, 16, 17, 46, 47, 52, 53]; blocks 14; classes 26 complete; frames 2025; zero-pattern CNF 3744 vars / 29820 clauses; proof lemmas 1722 (+3001 reduced); coordinate cst 64 +PASS_COMPLEX_RANK8_DECODER_RIGIDITY: live P120; pivot [0, 1, 26, 27, 44, 45, 54, 55]; blocks 14; classes 28 complete; frames 2025; zero-pattern CNF 4032 vars / 33768 clauses; proof lemmas 2045 (+2439 reduced); coordinate cst 72 +``` + +`--out /new/file.json` writes the complete certificate (log, pivot, CNF statistics and digests, proof hashes, +sampled costs). `--dimacs FILE` dumps the zero-pattern CNF (with the "some entry vanishes" clause) so that +any SAT solver can regenerate the refutation; `make_proof.py` does this with python-sat (not needed to verify; +`--families two,diag` produces the reduced proofs). + +## What `verify.py` checks + +The written proof is [PROOF.md](PROOF.md). Each finite fact it uses is tagged with a check id there. + +| section | content | +|---|---| +| A | 120 root lines, off-diagonal Gram values {0, ±1}, label pairing of F2-rank 9 with distinct rows; the pivot frame F is live and every one of the 112 non-pivot lines is odd to exactly 4 pivot lines with inner products ±1. | +| B | The 14 supports form S(3,4,8) (any three pivot lines in one block, any two in three, blocks meet in 0 or 2, complement-closed); 28 classes of 4 mutually orthogonal lines with Hadamard sign matrices; the orthogonality rule `2 = Σ_{shared f} ε_if ε_jf` with overlaps 0/2/4 and the same-class criterion for overlap 4; P112's eight punctured lines are FRAME0 and form two whole classes in complementary blocks, the other 26 classes are complete; every column pair of a class splits its rows 2+2, complementary column pairs give the same pairing and the three pairings are distinct matchings; E8 has exactly 2025 frames, all reachable from FRAME0 by root reflections. | +| C | Zero exclusion: the necessary conditions on the zero pattern of `K[:,F]`, `K[F,:]` (two-term equations in both orders, four-term equations, diagonal, nonsingular class matrices) as a CNF with asserted family counts and digest; the trivial pattern satisfies it; the shipped DRUP refutation of "some entry vanishes" is replayed by an independent reverse-unit-propagation checker (1722 lemmas on P112, 2045 on P120); the reduced CNF with only the two-term and diagonal families (counts and digest asserted too) is refuted as well (3001 / 2439 lemmas), so Lemma 4 does not depend on Lemma 3. | +| D | Live witnesses for the within-class lemma (for each of the 312 / 336 (complete class, column pair, group) triples a live orthogonal line in another block); class-level gluing witnesses (for all 576 / 672 ordered pairs of complete classes in blocks meeting in two points, each line of one is orthogonal to exactly the two sign-rule rows of the other); every block has a complete live class and every live line lies in one. All counts are asserted, so no check passes vacuously. | +| E | Exact rational mechanics of the corollary: `D (2G) D^{-1}` has rank 8 and solves the system; for a sampled rational dual basis, `X = D R A`, `Y = D^{-1} R (2A^{-T})` reproduces K and the term supports are `C(a_k)`, `C(b_k)`; the roots orthogonal to the sampled normals span at most six dimensions on at least one side of every term (so these supports are not hyperplane-flat complements); the sampled terms cost 9 each (≥ 8); the coordinate decoder attains cst 64 (P112) / 72 (P120). | +| G | (P112 run only) Beyond one frame: 204 stabiliser generators, one orbit on the 112 lines, three orbits on the 1260 frames (28/336/896) with PR717's P104 in the 896-orbit; for P111 and one representative P104 unit per orbit, with a deterministic pivot minimising incomplete classes: pinned class profile and CNF digest, live group witnesses, the shipped zero-exclusion refutation (two-term + diagonal families, or all four for type (4,4)), and the verdict whether every input of the written proof holds — it does for type (2,2,2,2) only. | +| F | Negative controls: the two-term and four-term clauses alone accept the all-zero pattern; a proof with an inserted non-RUP unit lemma (asserting one entry nonzero: its RUP test is exactly the statement that unit propagation refutes no single zero) or truncated before its empty clause is rejected; the proof does not close without the "some zero" clause; a zero-free non-Hadamard class matrix (Pascal) satisfies every equation of a lone D4 block and has a nonzero group minor, so the cross-block equations are what make the structure rigid; the Lemma 6 / §7 assembly is recomputed exactly (all two-term equations hold and `¼K[:,F]K[F,:] = D(2G)D^{-1}` with the stated d's) and fails for class-dependent column scalings; `2G + e_ie_jᵀ` on an odd pair is a rank-9 solution that is not of gauge form. | + +The DRUP proofs were produced by Glucose 4.1 through python-sat (`make_proof.py`); the verifier does not +trust them — it checks every lemma by unit propagation. Unit propagation alone refutes none of the 832 (P112) +/ 896 (P120) single-zero hypotheses (recorded), so the refutation genuinely needs case analysis. + +## Proof in one paragraph + +Pivot on a live frame F chosen so that the punctured lines form whole classes (28 of the 1260 live frames of +P112 qualify): `K[F,F] = 4I₈`, so `K = ¼ K[:,F] K[F,:]` and the problem becomes bilinear in the rows +`a_i = K[i,F]` and columns `b_j = K[F,j]`. Each non-pivot line is odd to exactly four pivot lines; the +14 four-sets form the Steiner system S(3,4,8), each carrying two classes of four mutually orthogonal lines +(a D4 with the pivot lines). Two orthogonal lines in different blocks share exactly two pivot coordinates, +so their equation has two terms: `a_ik b_jk + a_ik' b_jk' = 0`. A propositional argument (shipped as a +checked refutation, needing only the two-term and diagonal equations) shows no entry of any a_i or b_i on +its block can vanish. Then two rows of a class that agree on a sign product are forced parallel on that +coordinate pair by any live orthogonal witness, the twelve parallelism relations leave exactly two solution +families, one of which has a rank-1 class matrix and is excluded, and the other is `A_C = diag(δ) H_C diag(γ)`. +The two-term equations between blocks make the column scalings γ agree across blocks up to a scalar, which +the 3-design turns into a global potential g on F. Everything then reads `K_if = 2G_if d_i/d_f`, and +`K = ¼ K[:,F]K[F,:] = D(2G)D^{-1}`. + +## Numerical probes (evidence, not proof) + +`probe_numeric.py` (numpy, optional) runs Levenberg–Marquardt from random starts on the E-graph system in +rank 8 and tests each converged solution for diagonal gauge equivalence to 2G. Recorded runs (seed, trials): + +| unit | tangent nullity at 2G | random starts | gauge-equivalent | stalled (no solution) | non-gauge solutions | +|---|---|---|---|---|---| +| P120 | 183 = 64 + 120 − 1 | 8 (seed 1) | 8 | 0 | 0 | +| P112 | 175 = 64 + 112 − 1 | 6 (seed 7) | 5 | 1 | 0 | +| P104, PR717/PR968 unit (type (1,…,1)) | 167 = 64 + 104 − 1 | 6 (seed 11) | 5 | 1 | 0 | +| P104, type (4,4) representative | 167 = 64 + 104 − 1 | 8 (seed 5) | 8 | 0 | 0 | + +The tangent nullity equals the gauge dimension `dim GL₈ + (number of lines) − 1` in all cases, as PR717 +D1(d) found for P112. Trial counts are from single recorded runs. For the type-(1,…,1) and type-(4,4) P104 +units these lines are the only evidence of rigidity; Theorem 1 is claimed on P104 only for type (2,2,2,2). + +## Scope and inherited obligations + +- **Covered.** Real matrices of rank ≤ 8 satisfying the E-graph system on P112 (any frame puncture), P120 + and the 336 P104 units of type (2,2,2,2); the class of decoders with exactly eight costly terms in PR717's + D1(a) model on these units. Zero exclusion (Lemma 4) on P111 and on all 1260 P104 units. +- **Not covered.** n ≥ 9 costly terms (PR717's mixed-β open problem is open as before; with a rank-8 sum + Theorem 1 still describes K but no support statement follows, and for rank ≥ 9 the pivot reduction fails); + rigidity on P111, on the 28 type-(4,4) P104 units and on the 896 admissible P104 units (PROOF.md §10 names + the missing input for each; numerical evidence only); punctures of more than two frames or of other shapes; the corollary over complex coefficients (Theorem 1 + itself is algebraic and holds over any field of characteristic zero; Corollary 2 over ℂ would need PR968's + theorem over ℂ, PR1077, which is not invoked); any realization question. +- **Inherited conditions.** Corollary 2 inherits PR968's one cited, not recomputed, premise — the + classification of E8 hyperplane flats into eight W(E8)-types (PR968 (F6)) — and PR968's written argument, + which has had no independent human review. All of the selected record's assumptions are untouched: all-size + compiler, common-label and mutable-source realization, whole-call hosting, precision/tape, analytic + transfer, the bit interface. Nothing here is a formal proof of the multiplication theorem. The written argument has had + two rounds of AI-assisted adversarial review, and a reviewing agent re-implemented its finite facts from + scratch (not shipped); it has had no independent human review. + +## Provenance, credit and overlap + +- **Base commit** `1b59b624d21924f8e3537cdc1ac52d3be6eda2fe` (main, 2026-10-13; the work started at `2921874` and was rebased, the + package being additive). Pinned inputs in [SOURCES.json](SOURCES.json). No file outside this directory is + modified; `upstream/` is unchanged. +- **DreamingOfClouds, PR717** (open, head `4a97676`): the B14 decoder model, the E-graph reduction D1(a), the + eight-term floor D1(b) with its ARGUED step, and the local rigidity D1(d) that this package completes. + Model definitions were cross-checked against its `e8model.py` (pinned by git blob and SHA-256). +- **themilkman216, PR968** (merged): the normal form and the puncture floor theorem that Corollary 2 + invokes; PR968's scope section lists decoders that are exact only on PR717's E-graph as not covered. +- **DreamingOfClouds, PR446/PR595**: Theorem C (pairing-rank copy cost) and the format ceiling; **Joel + Pulikkan / GamingPuzzled, PR620**: the cost-64 decoder; **Mihir Srivastava, PR845** and **PR998** + (woklerx): single-lift exclusions, a different class (nine terms with retained readers). +- **Overlap.** Before submission the PRs opened on 2026-10-13 that touch decoders were reviewed (through + #1159, about 19:30 UTC): merged #1020 (deeper punctures of the all-pairs model), #998 (complex single + lifts), #971/#966/#979 (deletion thresholds and star budgets), #920 (parity decoder frames), #1077 + (complex coefficients for PR968's floor), #1097/#1098/#1099 (P111 minrank, Gram support spectra, frame-pair + tooling); open #1071 (delivery bounds for PR968's centres), #1125 (P104 carrier bound), #993/#1014 (parity + frame dimensions), #912 (Hurwitz routing-header floor), #1084 (bit decoder witness). None addresses E-graph-only exactness or global rigidity; + #968 and #1071 both list E-graph-only exactness as not covered. The sprint assignment seed (47, track + 40–49) coincides with PR968's; the object is different. +- **Concurrent work** (opened after that sweep, checked through #1210 at 21:10 UTC). **#1191** (mightyOil, + seed 28, open) proves that a decoder exact only on the even-inner-product mask — the E-graph — already + satisfies the all-pairs identity whenever *one* factor lies in the live root-coordinate column space, for + any number of terms, on P112, all P111 and all 1260 P104 units. Its hypothesis and Theorem 1's are + incomparable: Theorem 1 restricts the rank to 8 and neither factor (its solutions `D(2G)D⁻¹` have factors + `DRA`, `D⁻¹RB` that are in general not root-linear), while #1191 restricts one factor but neither the rank + nor the term count. Together they close, on P112, the E-graph decoders of rank ≤ 8 and those with a + root-linear factor; the open class is rank ≥ 9 with both factors off the root code. **#1180** (woklerx, + open) extends PR968/PR1077's *all-pairs* floor to any term count when both factors are root-linear and + explicitly excludes masked identities; **#1197** (ten-term decoders with retained coordinate readers) and + **#1187** (P104 COPY-drop thresholds) stay in the all-pairs model. None proves rank-8 rigidity of the + E-graph system. The discussion board's only adjacent claim (#1210, a masked root-star copy-cost census) + concerns star decoders, a different class. +- **Sprint claim.** Local claim in [CLAIM.md](CLAIM.md) (no pinned coordination issue exists). +- **AI assistance and license.** Prepared by the agent *Ninefold* (Claude Fable 5.1 via Claude Code) for + Brett Halligan (@burntout76), with substantial AI assistance in the research, proof, implementation, + adversarial review and documentation. Submitted by Brett Halligan. Apache-2.0. diff --git a/research/complex-rank8-decoder-rigidity/SOURCES.json b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/SOURCES.json new file mode 100644 index 0000000000..5ec2642838 --- /dev/null +++ b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/SOURCES.json @@ -0,0 +1,43 @@ +{ + "base_commit": "1b59b624d21924f8e3537cdc1ac52d3be6eda2fe", + "selected_record": { + "path": "certificates/selected-result.json", + "sha256": "10b9e340fd8e354a37a0c4813c90e5de1dd42044b5f6aca4a3fc5a42b685fa32", + "kappa": "836330098538459/500000000000000000", + "decimal": "0.001672660197076918", + "source_pr": 1094, + "note": "unchanged by this package; the result makes no kappa claim" + }, + "pinned_files_in_main": { + "research/complex-frame-pair-decoders/PROOF.md": "ba53c1d8a9bc2d935d546bde46ca7341bd65f8515013e07b073296b4db2a9a74", + "research/complex-frame-pair-decoders/README.md": "edd848b0177dc73a6e2646d4fd82f0b2ceae37e642bf19d6af602579a041a57e", + "research/complex-frame-pair-decoders/verify.py": "bdf7ee497dc04dfc634ee5b7848f6a2b39b0169668fb1a60a9715111dbd15395", + "research/format-limits/README.md": "0fa0d6b2df96ddc06b876c41c5fa8d2335b97f36bc8f17d1371296d23199c263", + "research/five-port-quadratic-decoder/sources/pr446-PROOF.md": "7a8c3bab633c08e7d96297dec9f9e7ed68d6bd0e076b73310c7d6b08a16df017" + }, + "pinned_files_in_open_prs": { + "PR717 research/format-limits-2/README.md": { + "head": "4a97676294f9fa413b65986e9984fddeda71e4cc", + "git_blob": "4e78bd5c50d037627ea2bc7505432659b3eb16c9", + "sha256": "fa69ebcade9150675a540150e1200045394dcb45abbe8ab9669934b0be53fadd", + "used_for": "rows D1(a)-(d), D2, D3: model, open problem, ARGUED status" + }, + "PR717 research/format-limits-2/s5-6-decoders-spec/checks/e8model.py": { + "head": "4a97676294f9fa413b65986e9984fddeda71e4cc", + "git_blob": "489a3e2c12e58c0e824eb6c49f5168ddc6756085", + "sha256": "7255d13ef349e7a549c0f26addf35ef72d28c72343f3abfcbab2f5eba74834a5", + "used_for": "definitions cross-checked (line order, FRAME0, label pairing, pairing-rank cost); not executed" + }, + "PR717 research/format-limits-2/s5-6-decoders-spec/checks/d1_decoder_floor.py": { + "head": "4a97676294f9fa413b65986e9984fddeda71e4cc", + "git_blob": "cfb61a2f77d81bc5101a74e47331abf3b2475415", + "sha256": "ef4b7aa039f9c259b94f92e1e2519f00256e1574556980c2490127954608db6e", + "used_for": "the E-graph reduction and the D1(b)/(d) computations referred to; not executed" + } + }, + "proof_generation": { + "tool": "python-sat 1.9.dev15 (Glucose 4.1, with_proof=True) via make_proof.py", + "note": "verify.py does not depend on python-sat; it replays the DRUP files (proof-.drup for the full CNF, proof--two-diag.drup for the reduced CNF with only the two-term and diagonal families) with its own RUP checker" + }, + "start_commit": "2921874911956718fcaaaf9396fe8267b3cfa9f0 (main at the start of the work; the package was rebased onto main at the end)" +} diff --git a/research/complex-rank8-decoder-rigidity/make_proof.py b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/make_proof.py new file mode 100644 index 0000000000..a8cdfe6cd4 --- /dev/null +++ b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/make_proof.py @@ -0,0 +1,56 @@ +#!/usr/bin/env python3 +# SPDX-License-Identifier: Apache-2.0 +"""Regenerate the DRUP refutation checked by verify.py (needs python-sat; verify.py itself does not). + + python3 -I -B research/complex-rank8-decoder-rigidity/make_proof.py --live P112 --out /new/proof-P112.drup + +The CNF is built by verify.build_zero_cnf with its deterministic variable numbering, conjoined with the +clause "some pattern variable is true" (some entry of K[:,F] or K[F,:] vanishes on its block). A DRUP +proof produced by any solver can be substituted; verify.py replays it with its own RUP checker. +""" +import argparse +import sys +from pathlib import Path + +sys.path.insert(0, str(Path(__file__).resolve().parent)) +import verify as V # noqa: E402 + + +def main(): + ap = argparse.ArgumentParser() + ap.add_argument('--live', default='P112', help='P112, P120, or an extension unit name (P111, P104-44, P104-2222, P104-11111111)') + ap.add_argument('--out', required=True) + ap.add_argument('--solver', default='g4', help='pysat solver name with proof support (g4 = Glucose 4.1)') + ap.add_argument('--families', default=None, help='comma-separated clause families (default all: two,four,diag,trans)') + args = ap.parse_args() + from pysat.solvers import Solver + if args.live in ('P112', 'P120'): + live = V.P112 if args.live == 'P112' else V.P120 + F = V.choose_pivot(live) + else: + units = V.extension_units()[0] + live, F, _desc = units[args.live] + F = list(F) + if args.families is None: + args.families = ','.join(V.EXPECTED['EXT']['units'][args.live]['families']) + rel = V.blocks_relative(F, live) + fams = None if args.families is None else set(args.families.split(',')) + cnf, zvars, stats = V.build_zero_cnf(live, F, rel, options=fams) + clauses = [list(c) for c in cnf.clauses] + [list(zvars)] + with Solver(name=args.solver, bootstrap_with=clauses, with_proof=True) as s: + sat = s.solve() + proof = s.get_proof() + if sat: + print('UNEXPECTED: satisfiable; a nontrivial zero pattern exists') + return 1 + out = Path(args.out) + if out.exists(): + print(f'refusing to overwrite {out}') + return 2 + out.write_text('\n'.join(proof) + '\n') + print(f'UNSAT; wrote {len(proof)} proof lines to {out} (vars {len(cnf.names)}, clauses {len(clauses)}, {stats})') + return 0 + + +if __name__ == '__main__': + sys.exit(main()) diff --git a/research/complex-rank8-decoder-rigidity/probe_numeric.py b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/probe_numeric.py new file mode 100644 index 0000000000..bd6923c034 --- /dev/null +++ b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/probe_numeric.py @@ -0,0 +1,119 @@ +#!/usr/bin/env python3 +# SPDX-License-Identifier: Apache-2.0 +"""Numerical probe (evidence, NOT part of the proof): random-start Levenberg-Marquardt on the rank-8 +E-graph system x_i.y_j = 0 (orthogonal live pairs), x_i.y_i = 4, and a diagonal-gauge test of every +converged solution against 2G. Requires numpy. Usage: + python3 -I probe_numeric.py [P120|P112|P104[,...]] +Recorded runs are listed in README.md ("Numerical probes").""" +import itertools, sys, time +import numpy as np + +def _e8_roots(): + roots = [] + for i, j in itertools.combinations(range(8), 2): + for si in (1, -1): + for sj in (1, -1): + v = [0] * 8; v[i], v[j] = 2 * si, 2 * sj; roots.append(tuple(v)) + for s in itertools.product((1, -1), repeat=8): + if s.count(-1) % 2 == 0: + roots.append(tuple(s)) + return roots +_LINES = []; _seen = set() +for _r in _e8_roots(): + _k = _r if _r > tuple(-a for a in _r) else tuple(-a for a in _r) + if _k not in _seen: + _seen.add(_k); _LINES.append(_r) +NL = len(_LINES) +RV = np.array(_LINES, dtype=float) / 2.0 +G = np.rint(RV @ RV.T).astype(int) +FRAME0 = [] +for _a in range(4): + for _s in (1, -1): + _v = [0] * 8; _v[2 * _a], _v[2 * _a + 1] = 2, 2 * _s; FRAME0.append(_LINES.index(tuple(_v))) +_P112 = [i for i in range(NL) if i not in FRAME0] +# PR717 D3(b)'s second punctured frame: its clique indices 9,15,24,46,52,66,94,104 are P112 positions +# (PR968 verify.py maps them through p112[q]); as 120-line indices they are [11, 17, 28, 52, 60, 74, 102, 112]. +P104_CLIQUE = [_P112[q] for q in (9, 15, 24, 46, 52, 66, 94, 104)] +assert all(G[a][b] == 0 for a in P104_CLIQUE for b in P104_CLIQUE if a != b) and not set(P104_CLIQUE) & set(FRAME0) + +def system(live): + L = list(live); n = len(L) + orth = [(a, b) for a, i in enumerate(L) for b, j in enumerate(L) if i != j and G[i, j] == 0] + return L, n, orth + +def residual(z, n, orth, oi, oj): + X = z[:8*n].reshape(n, 8); Y = z[8*n:].reshape(n, 8) + return np.concatenate([np.einsum('ij,ij->i', X[oi], Y[oj]), np.einsum('ij,ij->i', X, Y) - 4.0]) + +def jac(z, n, orth, oi, oj): + X = z[:8*n].reshape(n, 8); Y = z[8*n:].reshape(n, 8) + m = len(orth); J = np.zeros((m + n, 16*n)) + rows = np.arange(m) + for c in range(8): + J[rows, 8*oi + c] = Y[oj, c] + J[rows, 8*n + 8*oj + c] = X[oi, c] + for i in range(n): + J[m+i, 8*i:8*i+8] = Y[i]; J[m+i, 8*n+8*i:8*n+8*i+8] = X[i] + return J + +def lm(z, n, orth, oi, oj, iters=300, tol=1e-20): + lam = 1e-3 + r = residual(z, n, orth, oi, oj); f = r @ r + for it in range(iters): + J = jac(z, n, orth, oi, oj) + A = J.T @ J; g = J.T @ r; dg = np.diag(A) + while True: + dz = -np.linalg.solve(A + lam * (np.diag(dg) + 1e-12*np.eye(A.shape[0])), g) + z2 = z + dz; r2 = residual(z2, n, orth, oi, oj); f2 = r2 @ r2 + if f2 < f: + z, r, f = z2, r2, f2; lam = max(lam / 3, 1e-15); break + lam *= 4 + if lam > 1e14: return z, f + if f < tol: break + return z, f + +def gauge_test(z, L, n): + X = z[:8*n].reshape(n, 8); Y = z[8*n:].reshape(n, 8) + K = X @ Y.T; Gl = G[np.ix_(L, L)] + odd = [(i, j) for i in range(n) for j in range(n) if abs(Gl[i, j]) == 1] + if min(abs(K[i, j]) for i, j in odd) < 1e-7: + return 'ZERO-ODD-ENTRY', None + # d_i/d_j = K_ij/(2G_ij) must be a consistent potential: log|.| is a coboundary and signs consistent + w = {(i, j): K[i, j] / (2 * Gl[i, j]) for i, j in odd} + pot = np.full(n, np.nan); pot[0] = 1.0; frontier = [0] + adj = {i: [] for i in range(n)} + for i, j in odd: adj[i].append(j) + while frontier: + nf = [] + for i in frontier: + for j in adj[i]: + if np.isnan(pot[j]): pot[j] = pot[i] / w[(i, j)]; nf.append(j) + frontier = nf + err = max(abs(w[(i, j)] - pot[i] / pot[j]) / (1 + abs(pot[i] / pot[j])) for i, j in odd) + return ('GAUGE-EQUIV' if err < 1e-6 else 'NOT-GAUGE-EQUIV'), err + +if __name__ == '__main__': + seed = int(sys.argv[1]) if len(sys.argv) > 1 else 0 + trials = int(sys.argv[2]) if len(sys.argv) > 2 else 8 + rng = np.random.default_rng(seed) + cases = {'P120': [], 'P112': FRAME0, 'P104': FRAME0 + P104_CLIQUE} + if len(sys.argv) > 3: + cases = {k: v for k, v in cases.items() if k in sys.argv[3].split(',')} + for name, punct in cases.items(): + live = [i for i in range(NL) if i not in punct] + L, n, orth = system(live); oi = np.array([p[0] for p in orth]); oj = np.array([p[1] for p in orth]) + z0 = np.concatenate([(np.sqrt(2) * RV[L]).ravel()] * 2) # coordinate solution: x_i = y_i = sqrt2 r_i -> x.y = 2 = 4 + assert np.max(abs(residual(z0, n, orth, oi, oj))) < 1e-9 + s = np.linalg.svd(jac(z0, n, orth, oi, oj), compute_uv=False) + nul = 16*n - int((s > 1e-8 * s[0]).sum()) + print(f'{name}: live={n} orth_pairs={len(orth)} unknowns={16*n} eqs={len(orth)+n} tangent_nullity_at_coord={nul} (gauge dim 64+{n}-1={63+n})', flush=True) + t0 = time.time(); summary = {} + for t in range(trials): + z = rng.standard_normal(16 * n) + z, f = lm(z, n, orth, oi, oj) + if f < 1e-16: + tag, err = gauge_test(z, L, n) + else: + tag, err = f'NOCONV(f={f:.2e})', None + summary[tag] = summary.get(tag, 0) + 1 + print(f' {trials} random starts -> {summary} [{time.time()-t0:.0f}s]', flush=True) diff --git a/research/complex-rank8-decoder-rigidity/proof-P104-11111111.drup b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/proof-P104-11111111.drup new file mode 100644 index 0000000000..e71c3c93de --- /dev/null +++ b/research/complex-rank8-decoder-rigidity/proof-P104-11111111.drup @@ -0,0 +1,4133 @@ +-1117 1120 357 741 0 +-1109 1112 365 749 0 +-1101 1104 377 761 0 +-127 894 736 753 0 +368 727 733 361 373 736 753 749 1135 1136 0 +728 733 377 369 757 737 753 365 361 373 736 749 1135 1136 741 1127 360 0 +727 127 360 1049 381 365 757 741 357 -728 0 +127 733 765 381 761 736 361 -728 1109 1049 365 757 741 357 0 +-127 736 749 753 0 +-728 -725 765 381 127 761 745 361 736 -727 0 +259 1040 1037 -79 -212 848 977 -463 -596 0 +1026 1028 745 361 1027 0 +-725 -727 745 361 761 753 373 377 749 736 741 737 357 1120 765 381 0 +-727 736 749 1135 357 1136 745 365 361 761 753 373 377 741 737 1120 765 381 0 +368 727 373 357 745 749 736 1135 361 753 1136 0 +736 1120 365 757 741 373 357 745 749 1135 753 1136 761 377 737 361 765 381 0 +-725 727 127 361 365 757 741 0 +534 727 127 741 765 745 -536 0 +727 127 361 765 741 745 373 749 1136 365 757 0 +-534 872 361 127 765 368 -533 -536 0 +725 127 361 753 353 745 765 377 373 749 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223 73 1790 1792 1791 0 +d 144 580 1758 -1759 0 +d -3545 1054 -360 -159 1230 -83 -39 471 -183 -191 0 +d 415 1454 138 3 1456 0 +d 711 780 -414 450 0 +d 119 158 3 1534 408 0 +d 132 406 75 1424 3 0 +d 525 711 1213 450 779 0 +d 578 761 616 -227 0 +d 866 614 802 -139 0 +d 861 568 450 712 1456 415 3 138 140 0 +d 279 77 2015 142 119 0 +d 862 770 -58 761 0 +d 76 2653 3 804 316 762 614 0 +d 567 838 2462 450 675 0 +d 39 366 -857 419 0 +d 712 450 -81 672 0 +d 11 415 407 -550 0 +d -1453 471 -138 449 0 +d 485 566 1872 618 692 0 +d 772 761 578 -231 0 +d 564 866 678 1360 543 0 +d 351 211 -632 123 0 +d 244 408 1662 131 190 0 +d 568 454 763 -346 0 +d 671 691 492 -183 0 +d 762 540 802 -147 0 +d 187 370 1488 148 214 0 +d 486 610 -436 561 0 +d 349 174 -852 154 0 +d 523 456 487 -353 0 +d 760 471 432 -93 -418 0 +d 459 680 -126 804 0 +d 47 366 446 -600 0 +d 686 492 778 -151 0 +d 216 110 -847 78 0 +d 417 383 2431 142 316 0 +d 243 145 -558 227 0 +d 35 24 7 -781 0 +d 550 811 2351 616 470 0 +d 236 208 139 -622 0 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-0,0 +1,1059 @@ +#!/usr/bin/env python3 +# SPDX-License-Identifier: Apache-2.0 +"""Gauge rigidity of rank-8 E-graph-exact complex decoders on P112 (and P120). + +Standard library only; exact integer / F2 / rational arithmetic throughout. + +Model (PR717 B14, D1(a) scope). The 120 E8 root lines r_i (norm 2); G_ij = ; a puncture +removes lines, P112 = 120 lines minus the coordinate frame FRAME0. A costly-term decoder is a real +matrix K = sum_k x_k y_k^T on the live lines with K_ii = 4 and K_ij = 0 on orthogonal pairs (the +"E-graph"); odd pairs (G_ij = +-1) are free because single-entry terms there cost 0 (label-orthogonal). +This script supports the written proof (PROOF.md) that every such K of rank 8 equals D (2G) D^{-1} for a +diagonal D, by checking every finite fact the proof uses: + + A model facts and the pivot frame F (a live frame chosen so that the punctured lines form two classes) + B the D4-block structure of the lines relative to F: 14 blocks forming the Steiner system S(3,4,8), + 28 classes (4-frames with Hadamard sign matrices), the orthogonality rule, the three matchings of + every class, and W(E8)-transitivity on the 2025 frames of E8 + C zero exclusion: the necessary conditions on the zero pattern of K[:,F] and K[F,:] form a CNF whose + only model is the trivial pattern; the shipped DRUP refutations of "some zero" (for the full CNF and + for the reduced CNF with only the two-term and diagonal families) are replayed by an independent RUP + checker (no SAT solver needed) + D the within-class and gluing lemmas: the finite inputs they need (live witnesses, class-level + orthogonality, a complete live class in every block) exist + E corollary mechanics in exact rational arithmetic: D (2G) D^{-1} solves the system; for a sampled dual + basis the factorisation X = D R A, Y = D^{-1} R (2A^{-T}) reproduces K and has supports C(a_k), C(b_k); + the sampled terms cost >= 8 each (9 in the sample); the coordinate decoder attains 64 / 72 + F negative controls: relaxed CNFs accept the all-zero pattern, corrupted proofs are rejected, the proof + needs the "some zero" clause, a zero-free non-Hadamard class matrix satisfies all equations of a lone + D4 block (cross-block constraints are essential), the Lemma 6 / Section 7 assembly is recomputed + exactly and fails for class-dependent column scalings, and a rank-9 solution is not of gauge form + +Run from the repository root: python3 -I -B research/complex-rank8-decoder-rigidity/verify.py +Options: --live P120 (replay on the unpunctured unit), --proof FILE (replay another DRUP refutation of the +full CNF; large proofs from other solvers replay slowly in pure Python), --dimacs FILE (dump the +zero-pattern CNF for an external solver), --out FILE (write the full certificate JSON). +""" +from __future__ import annotations + +import argparse +import hashlib +import itertools +import json +import sys +from fractions import Fraction as Q +from pathlib import Path + +HERE = Path(__file__).resolve().parent +FAILS: list[str] = [] +LOG: list[str] = [] + +# Closed-form clause-family counts and the SHA-256 of the full zero-pattern CNF (with the "some zero" +# clause), per live set. A change of the builder that alters the CNF is caught here, and the shipped +# proofs are replayed against the CNF built at run time in any case. +EXPECTED = { + 'P112': {'two': 4608, 'four': 312, 'diag': 104, 'trans': 52, 'frames_complete': 26, 'class_pairs': 576, + 'cnf_sha256_reduced': 'f4e38d4cee6fcadb9e371be36a1fa3b7909fd09295dbe1d2baa59640b524cf21', + 'cnf_sha256': 'c1082b339fcbbd3982760142cd0116af747a62a4373d8e3eddc23e33956253ca'}, + # extension units (section G): reduced CNF (two + diag) counts and digests, class profile, witnesses + 'EXT': { + 'generators': 204, 'line_orbits': 1, 'frame_orbits': [28, 336, 896], + 'units': { + # families: the clause families of the shipped refutation ('two','diag' when those suffice; all four + # for the type-(4,4) unit, where the two-term and diagonal conditions alone admit a zero pattern) + 'P111': {'families': ['two', 'diag'], 'vars': 1236, 'clauses': 19387, 'sha256': 'b77a33efd19b8d75b1ee79effeb0426fbf0007891319d362251ab59f82aeee7e', + 'complete': 25, 'incomplete': 1, 'blocks_with_class': 13, 'transfers': False}, + 'P104-44': {'families': ['two', 'four', 'diag', 'trans'], 'vars': 3456, 'clauses': 25872, 'sha256': 'd984852f74284eb704816b8b584e270947dbe6abef4c30181e4922903f73054c', + 'complete': 24, 'incomplete': 0, 'blocks_with_class': 12, 'transfers': False}, + 'P104-2222': {'families': ['two', 'diag'], 'vars': 1152, 'clauses': 16864, 'sha256': '8b18530f0ff8980e2ac49c64ffb7b5d34c9ab745e3e20eba0943aa4ddb0c2c6f', + 'complete': 24, 'incomplete': 0, 'blocks_with_class': 14, 'transfers': True}, + 'P104-11111111': {'families': ['two', 'diag'], 'vars': 1152, 'clauses': 16992, 'sha256': '900d21c66ca2656a150b5dc9d5e904df232d56aeeed7926d444e5127b1687d03', + 'complete': 22, 'incomplete': 4, 'blocks_with_class': 14, 'transfers': False}, + }, + }, + 'P120': {'two': 5376, 'four': 336, 'diag': 112, 'trans': 56, 'frames_complete': 28, 'class_pairs': 672, + 'cnf_sha256_reduced': '86e27f4bb6ac6d3650509138558aa1e01130f2a4aa5f21889a6e2e98cfc51893', + 'cnf_sha256': 'f50dd6fa63077a0da68cd86ac2c02a5a771de97ecaa6738d68ac2919cc6af2ed'}, +} + + +def check(tag: str, cond: bool, info: str = '') -> bool: + line = ('PASS ' if cond else 'FAIL ') + tag + (' | ' + info if info else '') + print(line, flush=True) + LOG.append(line) + if not cond: + FAILS.append(tag) + return bool(cond) + + +# =============================================================================== A. model +def e8_roots(): + roots = [] + for i, j in itertools.combinations(range(8), 2): + for si in (1, -1): + for sj in (1, -1): + v = [0] * 8 + v[i], v[j] = 2 * si, 2 * sj + roots.append(tuple(v)) + for s in itertools.product((1, -1), repeat=8): + if s.count(-1) % 2 == 0: + roots.append(tuple(s)) + return roots + + +def neg(v): + return tuple(-a for a in v) + + +def ip(x, y): + d = sum(a * b for a, b in zip(x, y)) + assert d % 4 == 0 + return d // 4 + + +ROOTS = e8_roots() +LINES = [] +_seen = set() +for _r in ROOTS: + _key = _r if _r > neg(_r) else neg(_r) + if _key not in _seen: + _seen.add(_key) + LINES.append(_r) +NL = len(LINES) +G = [[ip(LINES[i], LINES[j]) for j in range(NL)] for i in range(NL)] +N = [[(G[i][j] + 1) & 1 for j in range(NL)] for i in range(NL)] # label pairing over F2 +NMASK = [sum(N[i][j] << j for j in range(NL)) for i in range(NL)] + +FRAME0 = [] +for _a in range(4): + for _s in (1, -1): + _v = [0] * 8 + _v[2 * _a], _v[2 * _a + 1] = 2, 2 * _s + FRAME0.append(LINES.index(tuple(_v))) +P112 = [i for i in range(NL) if i not in FRAME0] +P120 = list(range(NL)) + + +def f2_rank(rows): + basis = {} + rank = 0 + for v in rows: + while v: + h = v.bit_length() - 1 + if h in basis: + v ^= basis[h] + else: + basis[h] = v + rank += 1 + break + return rank + + +def pairing_rank(R, A): + R, A = list(R), list(A) + if not R or not A: + return 0 + amask = 0 + for j in A: + amask |= 1 << j + return f2_rank([NMASK[i] & amask for i in R]) + + +def is_frame(S): + return len(S) == 8 and all(G[a][b] == 0 for a in S for b in S if a != b) + + +def blocks_relative(frame, lines): + """For each line not in `frame`: (T, signs) with T the pivot lines it is odd to, in frame order.""" + info = {} + for i in lines: + if i in frame: + continue + T = tuple(f for f in frame if G[i][f] != 0) + signs = tuple(G[i][f] for f in T) + info[i] = (T, signs) + return info + + +def class_parity(signs): + return sum(1 for s in signs if s == -1) % 2 + + +def choose_pivot(live): + """Pivot frame F. For P112: the even class of one FRAME0-block and of its complementary block, so + that the eight punctured lines are two whole classes relative to F. For P120: FRAME0 itself.""" + if set(FRAME0) <= set(live): + return list(FRAME0) + rel0 = blocks_relative(FRAME0, range(NL)) + blocks = {} + for i, (T, s) in rel0.items(): + blocks.setdefault(T, []).append(i) + S0 = sorted(blocks)[0] + S0c = tuple(f for f in FRAME0 if f not in S0) + F = [i for i in blocks[S0] if class_parity(rel0[i][1]) == 0] + \ + [i for i in blocks[S0c] if class_parity(rel0[i][1]) == 0] + return F + + +# =============================================================================== C. CNF + RUP +class CNF: + """Deterministic variable numbering shared with make_proof.py (which imports this module).""" + + def __init__(self): + self.ids = {} + self.names = [] + self.clauses = [] + + def var(self, key): + v = self.ids.get(key) + if v is None: + v = len(self.names) + 1 + self.ids[key] = v + self.names.append(key) + return v + + def add(self, clause): + self.clauses.append(tuple(clause)) + + +ALL_FAMILIES = ('two', 'four', 'diag', 'trans') + + +def build_zero_cnf(live, F, rel, options=None): + """Necessary conditions on the zero pattern of a_i = K[i,F] and b_i = K[F,i]^T (a variable is TRUE when the + entry is zero). Every clause family must be a necessary condition on real solutions of system (2): + two a_i.b_j = a_ik b_jk + a_ik' b_jk' = 0 for orthogonal i, j in blocks meeting in {k,k'}: + the two products are both zero or both nonzero (both ordered equations); + four a_i.b_j = 0 for distinct orthogonal lines of one class: not exactly one nonzero product; + diag a_i.b_i = 16: some product nonzero; + trans Lemma 3: A_C and B_C of a complete class are nonsingular, so their zero patterns admit a transversal. + options: the families to include (default all).""" + opts = set(ALL_FAMILIES) if options is None else set(options) + cnf = CNF() + nonframe = sorted(rel) + za = lambda i, f: cnf.var(('a', i, f)) + zb = lambda i, f: cnf.var(('b', i, f)) + for i in nonframe: # fix the numbering of the pattern variables first + for f in rel[i][0]: + za(i, f) + for i in nonframe: + for f in rel[i][0]: + zb(i, f) + stats = {k: 0 for k in ALL_FAMILIES} + for i in nonframe: + Ti = set(rel[i][0]) + for j in nonframe: + if j == i or G[i][j] != 0: + continue + ov = sorted(Ti & set(rel[j][0])) + if len(ov) == 2 and 'two' in opts: + k, kp = ov + for (p, q), (r, s) in (((za(i, k), zb(j, k)), (za(i, kp), zb(j, kp))), + ((za(i, kp), zb(j, kp)), (za(i, k), zb(j, k)))): + cnf.add([-p, r, s]) + cnf.add([-q, r, s]) + stats['two'] += 1 + elif len(ov) == 4 and 'four' in opts: + prods = [] + for k in ov: + pk = cnf.var(('p', i, j, k)) # pk <-> (a_ik != 0 and b_jk != 0) + cnf.add([-pk, -za(i, k)]) + cnf.add([-pk, -zb(j, k)]) + cnf.add([pk, za(i, k), zb(j, k)]) + prods.append(pk) + for pk in prods: + cnf.add([-pk] + [q for q in prods if q != pk]) + stats['four'] += 1 + if 'diag' in opts: + ds = [] + for k in rel[i][0]: + dk = cnf.var(('d', i, k)) + cnf.add([-dk, -za(i, k)]) + cnf.add([-dk, -zb(i, k)]) + cnf.add([dk, za(i, k), zb(i, k)]) + ds.append(dk) + cnf.add(ds) + stats['diag'] += 1 + classes = {} + for i in nonframe: + T, s = rel[i] + classes.setdefault((T, class_parity(s)), []).append(i) + if 'trans' in opts: + for (T, par), lines in sorted(classes.items()): + if len(lines) != 4: + continue + for which, zf in (('A', za), ('B', zb)): + perms = [] + for perm in itertools.permutations(range(4)): + v = cnf.var(('perm', which, T, par, perm)) + for p, i in enumerate(lines): + cnf.add([-v, -zf(i, T[perm[p]])]) + perms.append(v) + cnf.add(perms) + stats['trans'] += 1 + zvars = [cnf.ids[('a', i, f)] for i in nonframe for f in rel[i][0]] + \ + [cnf.ids[('b', i, f)] for i in nonframe for f in rel[i][0]] + return cnf, zvars, stats + + +def cnf_digest(clauses): + return hashlib.sha256('\n'.join(' '.join(map(str, c)) for c in clauses).encode()).hexdigest() + + +def write_dimacs(path, clauses, nvars): + with open(path, 'w') as fh: + fh.write(f'p cnf {nvars} {len(clauses)}\n') + for c in clauses: + fh.write(' '.join(map(str, c)) + ' 0\n') + + +def rup_check(clauses, nvars, proof_lines, limit_lemmas=None): + """Replay a DRUP refutation: every lemma must follow by unit propagation (RUP) from the original clauses + plus the earlier lemmas; deletion steps are ignored (sound: the database only grows). Returns + (ok, lemmas_checked, reason). Strict parser: comment lines are skipped, a lemma with a literal 0 or a + variable above nvars is rejected, duplicate literals are merged.""" + db = [list(c) for c in clauses] + occ = {} # literal -> clause indices containing it + units = [] # top-level unit clauses (original or learned) + + def register(idx): + for lit in db[idx]: + occ.setdefault(lit, []).append(idx) + if len(db[idx]) == 1: + units.append(db[idx][0]) + if len(db[idx]) == 0: + units.append(None) + for idx in range(len(db)): + register(idx) + assign = [0] * (nvars + 1) # 0 unassigned, +1 true, -1 false + + def value(lit): + return assign[abs(lit)] * (1 if lit > 0 else -1) + + def propagate(seed_lits): + """Assign the seed literals (negated lemma) and the unit clauses, then unit-propagate. + Returns True on conflict.""" + trail = [] + queue = [] + for lit in list(seed_lits) + units: + if lit is None: + for l in trail: + assign[abs(l)] = 0 + return True + v = value(lit) + if v == -1: + for l in trail: + assign[abs(l)] = 0 + return True + if v == 0: + assign[abs(lit)] = 1 if lit > 0 else -1 + trail.append(lit) + queue.append(lit) + conflict = False + qi = 0 + while qi < len(queue) and not conflict: + lit = queue[qi] + qi += 1 + for idx in occ.get(-lit, ()): + clause = db[idx] + unassigned = None + satisfied = False + for l in clause: + v = value(l) + if v == 1: + satisfied = True + break + if v == 0: + if unassigned is None: + unassigned = l + else: + unassigned = 'many' + break + if satisfied or unassigned == 'many': + continue + if unassigned is None: + conflict = True + break + assign[abs(unassigned)] = 1 if unassigned > 0 else -1 + trail.append(unassigned) + queue.append(unassigned) + for l in trail: + assign[abs(l)] = 0 + return conflict + + checked = 0 + for raw in proof_lines: + raw = raw.strip() + if not raw or raw.startswith('d') or raw.startswith('c'): + continue + try: + lits = [int(t) for t in raw.split()] + except ValueError: + return False, checked, f'unparsable proof line: {raw[:40]}' + if not lits or lits[-1] != 0: + return False, checked, f'proof line without terminating 0: {raw[:40]}' + lits = list(dict.fromkeys(lits[:-1])) + if any(l == 0 or abs(l) > nvars for l in lits): + return False, checked, f'lemma {checked + 1} has an out-of-range literal' + if not propagate([-l for l in lits]): + return False, checked, f'lemma {checked + 1} is not RUP' + checked += 1 + if limit_lemmas and checked >= limit_lemmas: + break + if not lits: + return True, checked, 'empty clause derived' + db.append(lits) + register(len(db) - 1) + return False, checked, 'proof ended without the empty clause' + + +# =============================================================================== E. exact rational helpers +def rank_Q(M): + M = [[Q(x) for x in row] for row in M] + rows, cols = len(M), len(M[0]) if M else 0 + r = 0 + for c in range(cols): + piv = next((i for i in range(r, rows) if M[i][c] != 0), None) + if piv is None: + continue + M[r], M[piv] = M[piv], M[r] + for i in range(rows): + if i != r and M[i][c] != 0: + f = M[i][c] / M[r][c] + M[i] = [a - f * b for a, b in zip(M[i], M[r])] + r += 1 + return r + + +def inv_Q(M): + n = len(M) + A = [[Q(x) for x in row] + [Q(int(i == j)) for j in range(n)] for i, row in enumerate(M)] + for c in range(n): + piv = next(i for i in range(c, n) if A[i][c] != 0) + A[c], A[piv] = A[piv], A[c] + f = A[c][c] + A[c] = [a / f for a in A[c]] + for i in range(n): + if i != c and A[i][c] != 0: + g = A[i][c] + A[i] = [a - g * b for a, b in zip(A[i], A[c])] + return [row[n:] for row in A] + + +def matmul(A, B): + return [[sum(a * b for a, b in zip(row, col)) for col in zip(*B)] for row in A] + + +def lcg(seed): + state = seed & 0xFFFFFFFF + while True: + state = (1103515245 * state + 12345) & 0x7FFFFFFF + yield state + + +def rand_nonzero_Q(rng): + return Q((next(rng) % 97) + 1, (next(rng) % 13) + 1) * (1 if next(rng) % 2 else -1) + + +# =============================================================================== G. helpers: stabiliser, frames, units +LINE_INDEX = {} +for _i, _v in enumerate(LINES): + LINE_INDEX[_v] = _i + LINE_INDEX[neg(_v)] = _i + + +def reflection_perm(a): + """The permutation of the 120 lines induced by the reflection in root a.""" + al = LINES[a] + return tuple(LINE_INDEX[tuple(x - ip(LINES[i], al) * y for x, y in zip(LINES[i], al))] for i in range(NL)) + + +def frames_inside(live): + """All frames (8 mutually orthogonal lines) contained in `live`, as sorted tuples.""" + live = set(live) + orth = [set(j for j in live if j != i and G[i][j] == 0) for i in range(NL)] + out = set() + + def extend(cl, cands): + if len(cl) == 8: + out.add(tuple(sorted(cl))) + return + for c in sorted(cands): + if cl and c < cl[-1]: + continue + extend(cl + [c], cands & orth[c]) + extend([], set(live)) + return out + + +def stabiliser_generators(frame): + """Line permutations given by single reflections and by products of two reflections that map the frame + (as a set of lines) to itself. They generate a subgroup of the stabiliser of the frame in W(E8).""" + perms = [reflection_perm(a) for a in range(NL)] + fs = set(frame) + gens = set() + for a in range(NL): + if {perms[a][f] for f in frame} == fs: + gens.add(perms[a]) + for b in range(a + 1, NL): + prod = tuple(perms[a][perms[b][i]] for i in range(NL)) + if {prod[f] for f in frame} == fs: + gens.add(prod) + return sorted(gens) + + +def orbits(items, gens, act): + """Orbits of `items` under the group generated by `gens` (acting through act(g, x)); returns (reps, rep_of).""" + rep_of = {} + reps = [] + for s in items: + if s in rep_of: + continue + reps.append(s) + orb = {s} + frontier = [s] + while frontier: + nxt = [] + for x in frontier: + for g in gens: + y = act(g, x) + if y not in orb: + orb.add(y) + nxt.append(y) + frontier = nxt + for x in orb: + rep_of[x] = s + return reps, rep_of + + +def frame_type(frame, rel0): + """How a frame meets the classes relative to FRAME0: sorted class-hit counts.""" + cls = {} + for i in frame: + T, sg = rel0[i] + key = (T, class_parity(sg)) + cls[key] = cls.get(key, 0) + 1 + return tuple(sorted(cls.values(), reverse=True)) + + +def extension_units(): + """Representative live sets beyond P112 with a deterministic live pivot each: + P111 (one line removed; all 112 choices are equivalent under the stabiliser) and one P104 unit per + stabiliser orbit of the 1260 frames inside P112 (types (4,4), (2,2,2,2), (1,...,1)). For a unit whose + live classes can all be made complete, the pivot is chosen to do so (then the whole proof transfers).""" + rel0 = blocks_relative(FRAME0, range(NL)) + gens = stabiliser_generators(FRAME0) + frames = frames_inside(P112) + line_reps, line_rep_of = orbits(sorted(P112), gens, lambda g, i: g[i]) + frame_reps, frame_rep_of = orbits(sorted(frames), gens, lambda g, f: tuple(sorted(g[i] for i in f))) + units = {} + def best_pivot(live): + """The first live frame (in sorted order) minimising the number of incomplete live classes.""" + best = None + for fr in sorted(frames_inside(live)): + rel = blocks_relative(fr, live) + sizes = {} + for i in live: + if i in fr: + continue + T, sg = rel[i] + key = (T, class_parity(sg)) + sizes[key] = sizes.get(key, 0) + 1 + incomplete = sum(1 for v in sizes.values() if v != 4) + if best is None or incomplete < best[0]: + best = (incomplete, fr) + if incomplete == 0: + break + return best[1] + live111 = [i for i in P112 if i != line_reps[0]] + units['P111'] = (live111, best_pivot(live111), f'P112 minus line {line_reps[0]}') + for rep in frame_reps: + name = 'P104-' + ''.join(str(c) for c in frame_type(rep, rel0)) + live = [i for i in P112 if i not in rep] + units[name] = (live, best_pivot(live), f'P112 minus the frame {rep} (type {frame_type(rep, rel0)})') + return units, gens, line_reps, line_rep_of, frame_reps, frame_rep_of, frames, rel0 + + +# =============================================================================== main +def main(): + ap = argparse.ArgumentParser() + ap.add_argument('--live', default='P112', choices=['P112', 'P120']) + ap.add_argument('--proof', default=None, help='full-CNF DRUP proof (default proof-.drup next to this script)') + ap.add_argument('--dimacs', default=None, help='write the zero-pattern CNF in DIMACS form and continue') + ap.add_argument('--out', default=None, help='write the full certificate JSON (file must not exist)') + args = ap.parse_args() + live = P112 if args.live == 'P112' else P120 + exp = EXPECTED[args.live] + cert = {'live': args.live, 'base_commit': '1b59b624d21924f8e3537cdc1ac52d3be6eda2fe'} + + # ---------------------------------------------------------------- A + print('== A. model and pivot') + check('A.lines', NL == 120 and len(set(LINES)) == 120, '120 root lines') + offdiag = set(G[i][j] for i in range(NL) for j in range(NL) if i != j) + check('A.gram-offdiag', offdiag == {-1, 0, 1}, f'off-diagonal Gram values {sorted(offdiag)}') + check('A.label-rank', f2_rank(NMASK) == 9 and len(set(NMASK)) == NL, 'N = (G+1) mod 2 has F2 rank 9 and distinct rows') + check('A.frame0', is_frame(FRAME0) and len(live) == NL - (8 if args.live == 'P112' else 0), f'live={len(live)}') + F = choose_pivot(live) + check('A.pivot-frame', is_frame(F) and all(f in live for f in F), f'F={F}') + rel = blocks_relative(F, live) # live non-pivot lines + rel_all = blocks_relative(F, range(NL)) # all 112 non-pivot lines (punctured ones included) + nonframe = sorted(rel) + check('A.pivot-odd-four', all(len(T) == 4 for T, _ in rel_all.values()), + 'every one of the 112 non-pivot lines is odd to exactly 4 pivot lines') + check('A.pivot-signs', all(all(s in (1, -1) for s in signs) for _, signs in rel_all.values()), 'with inner products +-1') + cert['pivot'] = F + + # ---------------------------------------------------------------- B + print('== B. D4-block structure relative to the pivot') + blocks_all = {} + for i, (T, s) in rel_all.items(): + blocks_all.setdefault(T, []).append(i) + B = sorted(blocks_all) + check('B.blocks-14', len(B) == 14 and all(len(v) == 8 for v in blocks_all.values()), '14 blocks of 8 lines (112 lines)') + pts = list(F) + trip_ok = all(sum(1 for T in B if set(t) <= set(T)) == 1 for t in itertools.combinations(pts, 3)) + pair_ok = all(sum(1 for T in B if set(t) <= set(T)) == 3 for t in itertools.combinations(pts, 2)) + meet_ok = all(len(set(S) & set(T)) in (0, 2) for S in B for T in B if S != T) + comp_ok = all(tuple(f for f in F if f not in S) in blocks_all for S in B) + check('B.steiner', trip_ok and pair_ok and meet_ok and comp_ok, + 'S(3,4,8): every 3 points in one block, every 2 in three, blocks meet in 0 or 2, complement-closed') + classes_all = {} + for i, (T, s) in rel_all.items(): + classes_all.setdefault((T, class_parity(s)), []).append(i) + check('B.classes-28', len(classes_all) == 28 and all(len(v) == 4 for v in classes_all.values()), '28 classes of 4 lines') + frame4 = all(all(G[a][b] == 0 for a in L for b in L if a != b) for L in classes_all.values()) + check('B.class-4frames', frame4, 'each class is 4 mutually orthogonal lines') + had = True + for (T, par), L in classes_all.items(): + H = [rel_all[i][1] for i in L] + had &= all(sum(x * y for x, y in zip(H[p], H[q])) == (4 if p == q else 0) for p in range(4) for q in range(4)) + had &= all(sum(H[p][c] * H[p][cc] for p in range(4)) == 0 for c in range(4) for cc in range(4) if c != cc) + check('B.hadamard', had, 'class sign matrices are 4x4 Hadamard (orthogonal rows and columns)') + # orthogonality rule between non-pivot lines, including the class criterion for overlap 4 + rule = True + for i in rel_all: + Ti, si = rel_all[i] + for j in rel_all: + if j == i: + continue + Tj, sj = rel_all[j] + ov = [f for f in Ti if f in Tj] + if len(ov) == 0: + predicted = 0 + else: + tot = sum(si[Ti.index(f)] * sj[Tj.index(f)] for f in ov) # = 2 + predicted = tot // 2 if tot % 2 == 0 else None + rule &= (predicted is not None and predicted == G[i][j]) and len(ov) in (0, 2, 4) + if len(ov) == 4: + same_class = class_parity(si) == class_parity(sj) + rule &= (G[i][j] == 0) == same_class + check('B.orthogonality-rule', rule, + ' = (1/2) sum over shared pivot lines of sign products; overlaps 0/2/4; overlap-4 pairs are orthogonal iff same class') + live_classes = {k: [i for i in v if i in live] for k, v in classes_all.items()} + sizes = sorted(len(v) for v in live_classes.values()) + empty = [k for k, v in live_classes.items() if not v] + if args.live == 'P112': + comp_pair = len(empty) == 2 and set(empty[0][0]) == set(F) - set(empty[1][0]) + punct_lines = sorted(i for k in empty for i in classes_all[k]) + check('B.punctured-classes', sizes.count(4) == 26 and sizes.count(0) == 2 and comp_pair and punct_lines == sorted(FRAME0), + 'P112: 26 complete classes; the 2 empty classes are FRAME0 and lie in complementary blocks') + else: + check('B.punctured-classes', sizes.count(4) == 28, 'P120: all 28 classes complete') + cert['class_sizes'] = sizes + # groups and matchings: for a class and a column pair, the rows split 2+2 by the sign product; the pairing + # of a column pair equals that of its complement; the three pairings are three distinct perfect matchings + grp = True + m3 = True + for (T, par), L in live_classes.items(): + if len(L) != 4: + continue + pairing = {} + for c, cc in itertools.combinations(range(4), 2): + prods = [rel_all[i][1][c] * rel_all[i][1][cc] for i in L] + grp &= prods.count(1) == 2 and prods.count(-1) == 2 + pairing[(c, cc)] = frozenset(frozenset(p for p in range(4) if prods[p] == s) for s in (1, -1)) + m3 &= pairing[(0, 1)] == pairing[(2, 3)] and pairing[(0, 2)] == pairing[(1, 3)] and pairing[(0, 3)] == pairing[(1, 2)] + m3 &= len({pairing[(0, 1)], pairing[(0, 2)], pairing[(0, 3)]}) == 3 + ncomplete = sum(1 for L in live_classes.values() if len(L) == 4) + check('B.groups', grp and ncomplete == exp['frames_complete'], + f'in each of the {ncomplete} complete classes every column pair splits the rows into two groups of two') + check('B.three-matchings', m3 and ncomplete == exp['frames_complete'], + 'complementary column pairs give the same pairing; the three pairings are distinct matchings of K4') + # W(E8) acts transitively on frames: every frame is reachable from FRAME0 by root reflections. + orth_adj = [set(j for j in range(NL) if j != i and G[i][j] == 0) for i in range(NL)] + frames_all = set() + + def extend(clique, cands): + if len(clique) == 8: + frames_all.add(tuple(sorted(clique))) + return + for c in sorted(cands): + if clique and c < clique[-1]: + continue + extend(clique + [c], cands & orth_adj[c]) + extend([], set(range(NL))) + line_index = {} + for i, v in enumerate(LINES): + line_index[v] = i + line_index[neg(v)] = i + + def reflect_line(i, a): + r, al = LINES[i], LINES[a] + c = ip(r, al) + return line_index[tuple(x - c * y for x, y in zip(r, al))] + seen = {tuple(sorted(FRAME0))} + frontier = [tuple(sorted(FRAME0))] + while frontier: + nxt = [] + for fr in frontier: + for a in range(NL): + img = tuple(sorted(reflect_line(i, a) for i in fr)) + if img not in seen: + seen.add(img) + nxt.append(img) + frontier = nxt + check('B.frame-transitivity', len(frames_all) == 2025 and seen == frames_all, + f'{len(frames_all)} frames in E8, all reachable from FRAME0 by reflections') + cert['frames'] = len(frames_all) + + # ---------------------------------------------------------------- C + print('== C. zero exclusion by RUP replay') + cnf, zvars, stats = build_zero_cnf(live, F, rel) + nvars = len(cnf.names) + full_clauses = cnf.clauses + [tuple(zvars)] + digest = cnf_digest(full_clauses) + cert['cnf'] = {'vars': nvars, 'clauses': len(cnf.clauses), 'sha256': digest, **stats} + counts_ok = all(stats[k] == exp[k] for k in ALL_FAMILIES) and len(zvars) == 2 * 4 * len(nonframe) + check('C.cnf-size', counts_ok, f'{nvars} vars, {len(cnf.clauses)} clauses, families {stats}') + check('C.cnf-digest', digest == exp['cnf_sha256'], f'sha256 {digest[:16]}...') + if args.dimacs: + write_dimacs(args.dimacs, full_clauses, nvars) + print(f' wrote DIMACS (with the "some zero" clause) to {args.dimacs}') + assign = {v: False for v in range(1, nvars + 1)} + for key, v in cnf.ids.items(): + if key[0] in ('p', 'd') or (key[0] == 'perm' and key[4] == (0, 1, 2, 3)): + assign[v] = True + sat_trivial = all(any((assign[abs(l)] if l > 0 else not assign[abs(l)]) for l in c) for c in cnf.clauses) + check('C.trivial-pattern-satisfies', sat_trivial, 'the all-nonzero pattern satisfies every clause') + proof_path = Path(args.proof) if args.proof else HERE / f'proof-{args.live}.drup' + proof_lines = [] + if proof_path.exists(): + proof_lines = proof_path.read_text().splitlines() + ok, nlem, reason = rup_check(full_clauses, nvars, proof_lines) + check('C.rup-refutation', ok, f'{proof_path.name}: {nlem} lemmas replayed; {reason}') + cert['proof'] = {'file': proof_path.name, 'sha256': hashlib.sha256(proof_path.read_bytes()).hexdigest(), 'lemmas': nlem} + else: + check('C.rup-refutation', False, f'missing proof file {proof_path}') + # reduced CNF: only the two-term and diagonal families (Lemma 4 does not need Lemma 3) + cnf_r, zvars_r, stats_r = build_zero_cnf(live, F, rel, options={'two', 'diag'}) + red_digest = cnf_digest(cnf_r.clauses + [tuple(zvars_r)]) + check('C.cnf-size-reduced', stats_r == {'two': exp['two'], 'four': 0, 'diag': exp['diag'], 'trans': 0} + and len(cnf_r.names) == 12 * len(nonframe) and red_digest == exp['cnf_sha256_reduced'], + f'reduced CNF: {len(cnf_r.names)} vars, {len(cnf_r.clauses)} clauses, families {stats_r}, sha256 {red_digest[:16]}...') + red_path = HERE / f'proof-{args.live}-two-diag.drup' + if red_path.exists(): + ok_r, nlem_r, reason_r = rup_check(cnf_r.clauses + [tuple(zvars_r)], len(cnf_r.names), red_path.read_text().splitlines()) + check('C.rup-refutation-reduced', ok_r, f'{red_path.name}: two-term + diagonal families only; {nlem_r} lemmas; {reason_r}') + cert['proof_reduced'] = {'file': red_path.name, 'sha256': hashlib.sha256(red_path.read_bytes()).hexdigest(), 'lemmas': nlem_r, + 'vars': len(cnf_r.names), 'clauses': len(cnf_r.clauses)} + else: + check('C.rup-refutation-reduced', False, f'missing proof file {red_path}') + + # ---------------------------------------------------------------- D + print('== D. witnesses for the within-class and gluing lemmas') + # D1: for every complete live class, column pair {k,k'} and group, a live line j in another block with + # T_j ∩ T = {k,k'} orthogonal to both rows of the group (its (k,k') projection of b_j is nonzero by C) + d1 = True + ntrip = 0 + for (T, par), L in live_classes.items(): + if len(L) != 4: + continue + for c, cc in itertools.combinations(range(4), 2): + k, kp = T[c], T[cc] + for sign in (1, -1): + ntrip += 1 + rows = [i for i in L if rel_all[i][1][c] * rel_all[i][1][cc] == sign] + d1 &= len(rows) == 2 + wit = [j for j in nonframe if set(rel[j][0]) & set(T) == {k, kp} and all(G[i][j] == 0 for i in rows)] + d1 &= len(wit) >= 1 + check('D.class-witnesses', d1 and ntrip == 12 * exp['frames_complete'], + f'each of the {ntrip} (complete class, column pair, group of two rows) triples has a live orthogonal witness in another block') + # D2: class-level gluing witnesses: for ordered pairs of complete live classes C (block S), C' (block S') + # with |S ∩ S'| = 2 = {k,k'}, every j in C' is orthogonal to exactly the two rows i of C with + # eps_ik eps_ik' = -eps_jk eps_jk' + d2 = True + npairs = 0 + complete = {k: v for k, v in live_classes.items() if len(v) == 4} + for (T, par), C in complete.items(): + for (Tp, parp), Cp in complete.items(): + ov = sorted(set(T) & set(Tp)) + if T == Tp or len(ov) != 2: + continue + npairs += 1 + k, kp = ov + for j in Cp: + sj = rel_all[j][1][Tp.index(k)] * rel_all[j][1][Tp.index(kp)] + orth_rows = [i for i in C if G[i][j] == 0] + rule_rows = [i for i in C if rel_all[i][1][T.index(k)] * rel_all[i][1][T.index(kp)] == -sj] + d2 &= len(orth_rows) == 2 and orth_rows == rule_rows + check('D.gluing-witnesses', d2 and npairs == exp['class_pairs'], + f'{npairs} ordered pairs of complete classes in blocks meeting in two points: each line of one is orthogonal to exactly the two sign-rule rows of the other') + # D3: every block has a complete live class; every live non-pivot line lies in one + d3a = all(any(len(live_classes[(T, par)]) == 4 for par in (0, 1)) for T in B) + d3b = all(len(live_classes[(rel[i][0], class_parity(rel[i][1]))]) == 4 for i in nonframe) + check('D.block-live-class', d3a, 'each of the 14 blocks has a complete live class') + check('D.complete-classes', d3b, 'every live non-pivot line lies in a complete live class') + + # ---------------------------------------------------------------- E + print('== E. corollary mechanics (exact rational arithmetic)') + rng = lcg(2024 if args.live == 'P112' else 2025) + idx = {i: p for p, i in enumerate(live)} + d = [rand_nonzero_Q(rng) for _ in live] + K = [[2 * G[i][j] * d[idx[i]] / d[idx[j]] for j in live] for i in live] + e1 = all(K[idx[i]][idx[i]] == 4 for i in live) and all(K[idx[i]][idx[j]] == 0 for i in live for j in live if i != j and G[i][j] == 0) + check('E.gauge-solves', e1 and rank_Q(K) == 8, 'D (2G) D^{-1} has rank 8 and solves the E-graph system') + while True: + A = [[Q((next(rng) % 7) - 3) for _ in range(8)] for _ in range(8)] + if rank_Q(A) == 8: + break + Bm = [[2 * x for x in row] for row in zip(*inv_Q(A))] # B = 2 A^{-T} + R = [[Q(x, 2) for x in LINES[i]] for i in live] # true coordinates (norm^2 = 2) + RA = matmul(R, A) + RB = matmul(R, Bm) + X = [[d[p] * x for x in RA[p]] for p in range(len(live))] + Y = [[RB[p][c] / d[p] for c in range(8)] for p in range(len(live))] + XY = matmul(X, [list(col) for col in zip(*Y)]) + check('E.factorisation', XY == K, 'X = D R A, Y = D^{-1} R (2A^{-T}) reproduces K exactly (sampled dual basis)') + supports_ok = True + costs = [] + for k in range(8): + a_k = [A[r][k] for r in range(8)] + b_k = [Bm[r][k] for r in range(8)] + Rk = [i for p, i in enumerate(live) if X[p][k] != 0] + Ak = [i for p, i in enumerate(live) if Y[p][k] != 0] + Ca = [i for i in live if sum(Q(LINES[i][c], 2) * a_k[c] for c in range(8)) != 0] + Cb = [i for i in live if sum(Q(LINES[i][c], 2) * b_k[c] for c in range(8)) != 0] + supports_ok &= (Rk == Ca and Ak == Cb) + costs.append(pairing_rank(Rk, Ak)) + check('E.normal-form-supports', supports_ok, 'sampled term supports are C(a_k), C(b_k) (PR968 normal form)') + # dimension of the span of the roots orthogonal to each sampled normal: a hyperplane-flat normal has 7, + # a generic normal fewer (a normal orthogonal to no root has support L) + def orth_span_dim(vec): + rows = [[Q(x, 2) for x in LINES[i]] for i in range(NL) if sum(Q(LINES[i][c], 2) * vec[c] for c in range(8)) == 0] + return rank_Q(rows) if rows else 0 + dims_a = [orth_span_dim([A[r][k] for r in range(8)]) for k in range(8)] + dims_b = [orth_span_dim([Bm[r][k] for r in range(8)]) for k in range(8)] + check('E.sample-normals', all(min(da, db) < 7 for da, db in zip(dims_a, dims_b)), + f'orthogonal-root span dimensions of the sampled normals: a {dims_a}, b {dims_b} (hyperplane-flat normals have 7)') + floor = 64 if args.live == 'P112' else 72 + check('E.sample-cost', all(c >= 8 for c in costs) and sum(costs) >= floor, f'sampled 8-term costs {costs}, cst {sum(costs)} >= {floor}') + coord_cost = sum(pairing_rank([i for i in live if G[i][f] != 0], [i for i in live if G[i][f] != 0]) for f in FRAME0) + check('E.coordinate-decoder', coord_cost == floor, f'coordinate decoder cst = {coord_cost} (attains the floor)') + cert['sample_costs'] = costs + + # ---------------------------------------------------------------- F + print('== F. negative controls') + # F1: the equivalence families alone are satisfied by the all-zero pattern + cnf2, zv2, _ = build_zero_cnf(live, F, rel, options={'two', 'four'}) + allzero = {v: (cnf2.names[v - 1][0] in ('a', 'b')) for v in range(1, len(cnf2.names) + 1)} + f1 = all(any((allzero[abs(l)] if l > 0 else not allzero[abs(l)]) for l in c) for c in cnf2.clauses) + check('F.relaxed-cnf-accepts-all-zero', f1, 'two-term + four-term clauses alone are satisfied by the all-zero pattern') + if proof_lines: + lemma_idx = [i for i, l in enumerate(proof_lines) if l.strip() and not l.startswith(('d', 'c'))] + # F2a: insert, as the first lemma, the unit clause "entry zvars[0] is nonzero". Its RUP test assigns that + # entry zero and propagates over the original clauses only; since unit propagation refutes no single + # zero, this lemma is never RUP and the checker must stop at lemma 1 (solver-independent control). + bad = [' '.join(map(str, [-zvars[0], 0]))] + proof_lines + ok2, n2, reason2 = rup_check(full_clauses, nvars, bad, limit_lemmas=5) + # F2b: a proof truncated before its final empty clause must be rejected + last = lemma_idx[-1] + ok3, n3, reason3 = rup_check(full_clauses, nvars, proof_lines[:last]) + check('F.corrupted-proof-rejected', not ok2 and n2 == 0 and not ok3 and n3 == len(lemma_idx) - 1, + f'inserted non-RUP unit lemma: {reason2}; truncated proof: {reason3}') + # F3: without the "some zero" clause the proof cannot close (the trivial pattern is a model) + ok4, n4, reason4 = rup_check(cnf.clauses, nvars, proof_lines) + check('F.proof-needs-some-zero', not ok4, f'without the "some zero" clause: {reason4}') + else: + check('F.corrupted-proof-rejected', False, 'no proof file to corrupt') + check('F.proof-needs-some-zero', False, 'no proof file') + # F4: a lone D4 block is not rigid: a zero-free, nonsingular class matrix that is not a row/column scaling + # of the class Hadamard matrix (so Lemma 4 does not exclude it) satisfies every equation inside its block + (T0, par0), E0 = next((k, v) for k, v in sorted(live_classes.items()) if len(v) == 4) + AE = [[Q(1), Q(1), Q(1), Q(1)], [Q(1), Q(2), Q(3), Q(4)], [Q(1), Q(3), Q(6), Q(10)], [Q(1), Q(4), Q(10), Q(20)]] # Pascal + assert rank_Q(AE) == 4 and all(x != 0 for row in AE for x in row) + BE = [[16 * x for x in row] for row in zip(*inv_Q(AE))] + blockK = matmul(AE, [list(c) for c in zip(*BE)]) + within = all(blockK[p][q] == (16 if p == q else 0) for p in range(4) for q in range(4)) + H = [rel_all[i][1] for i in E0] + cross_ratio_match = all( + AE[p][c] * AE[q][cc] * H[p][cc] * H[q][c] == AE[p][cc] * AE[q][c] * H[p][c] * H[q][cc] + for p in range(4) for q in range(4) for c in range(4) for cc in range(4)) + check('F.single-block-not-rigid', within and not cross_ratio_match, + 'a zero-free non-Hadamard class matrix (Pascal) with B = 16 A^{-T} satisfies all equations of its own block (exactly (E4) and (E0); B.orthogonality-rule shows a block has no others)') + c, cc = 0, 1 + rows = [p for p in range(4) if H[p][c] * H[p][cc] == 1] + assert len(rows) == 2 + minor = AE[rows[0]][c] * AE[rows[1]][cc] - AE[rows[0]][cc] * AE[rows[1]][c] + check('F.minor-obstruction', minor != 0, 'the group minor that a live witness forces to vanish (Lemma 5, eq. (4)) is nonzero for it') + # F5: Lemma 6 / Section 7 assembly recomputed exactly. Build a_if = delta_i eps_if gamma^C_f and + # b_if = 4 eps_if / (delta_i gamma^C_f) (the Lemma 5 form) and evaluate every equation of system (2). + # (i) class-dependent gamma^C: (E0),(E4) hold, some (E2) fail; (ii) gamma^C = c_C g|_T: all hold and + # (1/4) K[:,F] K[F,:] = D (2G) D^{-1} with d_i = delta_i c_C / 2, d_f = 1 / g_f. + rng2 = lcg(777) + delta = {i: rand_nonzero_Q(rng2) for i in nonframe} + gvec = {f: rand_nonzero_Q(rng2) for f in F} + cC = {key: rand_nonzero_Q(rng2) for key in complete} + gamma_dep = {key: {f: rand_nonzero_Q(rng2) for f in key[0]} for key in complete} + gamma_glue = {key: {f: cC[key] * gvec[f] for f in key[0]} for key in complete} + + def assemble(gamma): + a = {} + b = {} + for i in nonframe: + T, s = rel[i] + key = (T, class_parity(s)) + a[i] = {f: delta[i] * s[T.index(f)] * gamma[key][f] for f in T} + b[i] = {f: 4 * s[T.index(f)] / (delta[i] * gamma[key][f]) for f in T} + e0 = all(sum(a[i][f] * b[i][f] for f in rel[i][0]) == 16 for i in nonframe) + e4 = True + e2_fail = 0 + e2_total = 0 + for i in nonframe: + Ti = set(rel[i][0]) + for j in nonframe: + if j == i or G[i][j] != 0: + continue + ov = Ti & set(rel[j][0]) + val = sum(a[i][f] * b[j][f] for f in ov) + if len(ov) == 4: + e4 &= val == 0 + elif len(ov) == 2: + e2_total += 1 + e2_fail += val != 0 + return a, b, e0, e4, e2_fail, e2_total + _, _, e0d, e4d, fail_dep, tot_dep = assemble(gamma_dep) + check('F.assembly-needs-gluing', e0d and e4d and fail_dep > 0, + f'class-dependent column scalings: (E0),(E4) hold but {fail_dep}/{tot_dep} two-term equations fail') + a_g, b_g, e0g, e4g, fail_g, tot_g = assemble(gamma_glue) + KF = {i: {f: (a_g[i].get(f, Q(0)) if i in a_g else Q(0)) for f in F} for i in live} # K[:,F] + FK = {j: {f: (b_g[j].get(f, Q(0)) if j in b_g else Q(0)) for f in F} for j in live} # K[F,:]^T + for f in F: + KF[f] = {g: Q(4 if g == f else 0) for g in F} + FK[f] = {g: Q(4 if g == f else 0) for g in F} + dd = {} + for i in nonframe: + T, s = rel[i] + dd[i] = delta[i] * cC[(T, class_parity(s))] / 2 + for f in F: + dd[f] = 1 / gvec[f] + assembled_ok = e0g and e4g and fail_g == 0 + for i in live: + for j in live: + val = sum(KF[i][f] * FK[j][f] for f in F) / 4 + if val != 2 * G[i][j] * dd[i] / dd[j]: + assembled_ok = False + break + if not assembled_ok: + break + check('F.assembly-control', assembled_ok and tot_g == exp['two'], + f'glued scalings: all {tot_g} two-term equations hold and (1/4) K[:,F] K[F,:] = D (2G) D^(-1) with the Section 7 d_i, d_f') + # F6: the rank hypothesis is essential: 2G + e_i e_j^T on an odd pair solves (E), has rank 9, not gauge form + i0 = live[0] + j0 = next(j for j in live if abs(G[i0][j]) == 1) + K9 = [[Q(2 * G[i][j]) + (1 if (i, j) == (i0, j0) else 0) for j in live] for i in live] + e9 = all(K9[idx[i]][idx[i]] == 4 for i in live) and all(K9[idx[i]][idx[j]] == 0 for i in live for j in live if i != j and G[i][j] == 0) + gauge9 = K9[idx[i0]][idx[j0]] * K9[idx[j0]][idx[i0]] == 4 * G[i0][j0] * G[j0][i0] + check('F.rank9-not-gauge', e9 and rank_Q(K9) == 9 and not gauge9, + '2G + e_i e_j^T (odd pair) solves the E-graph system with rank 9 and is not D(2G)D^(-1)') + + # ---------------------------------------------------------------- G + if args.live == 'P112': + print('== G. beyond one frame: stabiliser orbits, witnesses and zero exclusion on P111 and the P104 units') + ext = EXPECTED['EXT'] + units, gens, line_reps, line_rep_of, frame_reps, frame_rep_of, frames112, rel0 = extension_units() + check('G.stabiliser-generators', len(gens) == ext['generators'], + f'{len(gens)} line permutations from single/double reflections fixing FRAME0 as a set') + check('G.line-orbits', len(line_reps) == ext['line_orbits'] and len(line_rep_of) == 112, + 'the 112 lines of P112 form one orbit: all P111 units are equivalent') + fsizes = sorted(sum(1 for v in frame_rep_of.values() if v == r) for r in frame_reps) + ftypes = {frame_type(r, rel0) for r in frame_reps} + check('G.frame-orbits', len(frames112) == 1260 and fsizes == ext['frame_orbits'] and + ftypes == {(4, 4), (2, 2, 2, 2), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)} and len(ftypes) == 3, + f'1260 frames in P112 fall into orbits of sizes {fsizes}, one per class-hit type') + p104_pr717 = tuple(sorted(P112[q] for q in (9, 15, 24, 46, 52, 66, 94, 104))) + check('G.pr717-p104-orbit', frame_rep_of.get(p104_pr717) is not None and + frame_type(p104_pr717, rel0) == (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), 'PR717/PR968 P104 clique lies in the 896-orbit (admissible type)') + cert['extension'] = {} + for name, (ulive, upivot, desc) in units.items(): + upivot = list(upivot) + exp_u = ext['units'][name] + urel = blocks_relative(upivot, ulive) + unon = sorted(urel) + ucls = {} + for i in unon: + T, sg = urel[i] + ucls.setdefault((T, class_parity(sg)), []).append(i) + sizes_u = sorted(len(v) for v in ucls.values()) + ncomp = sizes_u.count(4) + ninc = sum(1 for v in sizes_u if v != 4) + # witnesses for the complete classes (Lemma 5 Step 1) and for gluing between complete classes + w1 = True + for (T, par), L in ucls.items(): + if len(L) != 4: + continue + for c, cc in itertools.combinations(range(4), 2): + for sign in (1, -1): + rows = [i for i in L if urel[i][1][c] * urel[i][1][cc] == sign] + wit = [j for j in unon if set(urel[j][0]) & set(T) == {T[c], T[cc]} and all(G[i][j] == 0 for i in rows)] + w1 &= len(rows) == 2 and len(wit) >= 1 + # blocks (relative to this pivot) that have a complete live class: Lemma 6 needs all 14 + all_blocks = sorted({T for T, _ in blocks_relative(upivot, range(NL)).values()}) + nblk = sum(1 for T in all_blocks if any(len(ucls.get((T, par), [])) == 4 for par in (0, 1))) + fams = set(exp_u['families']) + ucnf, uz, ust = build_zero_cnf(ulive, upivot, urel, options=fams) + udig = cnf_digest(ucnf.clauses + [tuple(uz)]) + pins_ok = (len(ucnf.names) == exp_u['vars'] and len(ucnf.clauses) == exp_u['clauses'] and udig == exp_u['sha256'] + and ncomp == exp_u['complete'] and ninc == exp_u['incomplete'] and nblk == exp_u['blocks_with_class']) + check(f'G.{name}.unit', pins_ok and is_frame(upivot) and all(f in ulive for f in upivot) and len(all_blocks) == 14, + f'{desc}; live {len(ulive)}; pivot {upivot}; classes: {ncomp} complete, {ninc} incomplete (sizes {sorted(set(sizes_u))}); ' + f'blocks with a complete live class {nblk}/14; CNF families {sorted(fams)}: {len(ucnf.names)} vars / {len(ucnf.clauses)} clauses, sha256 {udig[:12]}') + check(f'G.{name}.class-witnesses', w1, 'every complete live class has its live group witnesses in other blocks') + upath = HERE / f'proof-{name}.drup' + oku = False + if upath.exists(): + oku, nlu, reasu = rup_check(ucnf.clauses + [tuple(uz)], len(ucnf.names), upath.read_text().splitlines()) + check(f'G.{name}.zero-exclusion', oku, f'{upath.name}: {nlu} lemmas; {reasu}') + cert['extension'][name] = {'pivot': upivot, 'classes': sizes_u, 'families': sorted(fams), 'lemmas': nlu, 'cnf_sha256': udig, + 'proof_sha256': hashlib.sha256(upath.read_bytes()).hexdigest(), 'blocks_with_class': nblk} + else: + check(f'G.{name}.zero-exclusion', False, f'missing proof file {upath}') + # the written proof transfers verbatim iff every live class is complete, zero exclusion holds, the + # class witnesses exist and every block has a complete live class + transfers = (ninc == 0 and oku and w1 and nblk == 14) + reasons = [] if transfers else ([f'{ninc} incomplete classes'] if ninc else []) + ([] if oku else ['zero exclusion not replayed']) + \ + ([] if w1 else ['missing class witnesses']) + ([] if nblk == 14 else [f'only {nblk}/14 blocks have a complete live class']) + check(f'G.{name}.theorem-transfers', transfers == exp_u['transfers'], + ('Theorem 1 holds on this unit: all finite inputs of the proof verified' if transfers else 'not established: ' + ', '.join(reasons))) + + # ---------------------------------------------------------------- summary + summary = (f'PASS_COMPLEX_RANK8_DECODER_RIGIDITY: live {args.live}; pivot {F}; blocks 14; classes {sizes.count(4)} complete; ' + f'frames 2025; zero-pattern CNF {nvars} vars / {len(cnf.clauses)} clauses; proof lemmas ' + f'{cert.get("proof", {}).get("lemmas", 0)} (+{cert.get("proof_reduced", {}).get("lemmas", 0)} reduced); coordinate cst {coord_cost}') + if FAILS: + print('FAILED CHECKS:', FAILS) + print('FAIL_COMPLEX_RANK8_DECODER_RIGIDITY') + else: + print(summary) + cert['log'] = LOG + cert['fails'] = FAILS + if args.out: + outp = Path(args.out) + if outp.exists(): + print(f'refusing to overwrite {outp}') + return 2 + outp.write_text(json.dumps(cert, indent=1, default=str)) + return 1 if FAILS else 0 + + +if __name__ == '__main__': + sys.exit(main())