diff --git a/research/one-sided-six-multisets/LICENSE b/research/one-sided-six-multisets/LICENSE
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+++ b/research/one-sided-six-multisets/LICENSE
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+                                 Apache License
+                           Version 2.0, January 2004
+                        http://www.apache.org/licenses/
+
+   TERMS AND CONDITIONS FOR USE, REPRODUCTION, AND DISTRIBUTION
+
+   1. Definitions.
+
+      "License" shall mean the terms and conditions for use, reproduction,
+      and distribution as defined by Sections 1 through 9 of this document.
+
+      "Licensor" shall mean the copyright owner or entity authorized by
+      the copyright owner that is granting the License.
+
+      "Legal Entity" shall mean the union of the acting entity and all
+      other entities that control, are controlled by, or are under common
+      control with that entity. For the purposes of this definition,
+      "control" means (i) the power, direct or indirect, to cause the
+      direction or management of such entity, whether by contract or
+      otherwise, or (ii) ownership of fifty percent (50%) or more of the
+      outstanding shares, or (iii) beneficial ownership of such entity.
+
+      "You" (or "Your") shall mean an individual or Legal Entity
+      exercising permissions granted by this License.
+
+      "Source" form shall mean the preferred form for making modifications,
+      including but not limited to software source code, documentation
+      source, and configuration files.
+
+      "Object" form shall mean any form resulting from mechanical
+      transformation or translation of a Source form, including but
+      not limited to compiled object code, generated documentation,
+      and conversions to other media types.
+
+      "Work" shall mean the work of authorship, whether in Source or
+      Object form, made available under the License, as indicated by a
+      copyright notice that is included in or attached to the work
+      (an example is provided in the Appendix below).
+
+      "Derivative Works" shall mean any work, whether in Source or Object
+      form, that is based on (or derived from) the Work and for which the
+      editorial revisions, annotations, elaborations, or other modifications
+      represent, as a whole, an original work of authorship. For the purposes
+      of this License, Derivative Works shall not include works that remain
+      separable from, or merely link (or bind by name) to the interfaces of,
+      the Work and Derivative Works thereof.
+
+      "Contribution" shall mean any work of authorship, including
+      the original version of the Work and any modifications or additions
+      to that Work or Derivative Works thereof, that is intentionally
+      submitted to Licensor for inclusion in the Work by the copyright owner
+      or by an individual or Legal Entity authorized to submit on behalf of
+      the copyright owner. For the purposes of this definition, "submitted"
+      means any form of electronic, verbal, or written communication sent
+      to the Licensor or its representatives, including but not limited to
+      communication on electronic mailing lists, source code control systems,
+      and issue tracking systems that are managed by, or on behalf of, the
+      Licensor for the purpose of discussing and improving the Work, but
+      excluding communication that is conspicuously marked or otherwise
+      designated in writing by the copyright owner as "Not a Contribution."
+
+      "Contributor" shall mean Licensor and any individual or Legal Entity
+      on behalf of whom a Contribution has been received by Licensor and
+      subsequently incorporated within the Work.
+
+   2. Grant of Copyright License. Subject to the terms and conditions of
+      this License, each Contributor hereby grants to You a perpetual,
+      worldwide, non-exclusive, no-charge, royalty-free, irrevocable
+      copyright license to reproduce, prepare Derivative Works of,
+      publicly display, publicly perform, sublicense, and distribute the
+      Work and such Derivative Works in Source or Object form.
+
+   3. Grant of Patent License. Subject to the terms and conditions of
+      this License, each Contributor hereby grants to You a perpetual,
+      worldwide, non-exclusive, no-charge, royalty-free, irrevocable
+      (except as stated in this section) patent license to make, have made,
+      use, offer to sell, sell, import, and otherwise transfer the Work,
+      where such license applies only to those patent claims licensable
+      by such Contributor that are necessarily infringed by their
+      Contribution(s) alone or by combination of their Contribution(s)
+      with the Work to which such Contribution(s) was submitted. If You
+      institute patent litigation against any entity (including a
+      cross-claim or counterclaim in a lawsuit) alleging that the Work
+      or a Contribution incorporated within the Work constitutes direct
+      or contributory patent infringement, then any patent licenses
+      granted to You under this License for that Work shall terminate
+      as of the date such litigation is filed.
+
+   4. Redistribution. You may reproduce and distribute copies of the
+      Work or Derivative Works thereof in any medium, with or without
+      modifications, and in Source or Object form, provided that You
+      meet the following conditions:
+
+      (a) You must give any other recipients of the Work or
+          Derivative Works a copy of this License; and
+
+      (b) You must cause any modified files to carry prominent notices
+          stating that You changed the files; and
+
+      (c) You must retain, in the Source form of any Derivative Works
+          that You distribute, all copyright, patent, trademark, and
+          attribution notices from the Source form of the Work,
+          excluding those notices that do not pertain to any part of
+          the Derivative Works; and
+
+      (d) If the Work includes a "NOTICE" text file as part of its
+          distribution, then any Derivative Works that You distribute must
+          include a readable copy of the attribution notices contained
+          within such NOTICE file, excluding those notices that do not
+          pertain to any part of the Derivative Works, in at least one
+          of the following places: within a NOTICE text file distributed
+          as part of the Derivative Works; within the Source form or
+          documentation, if provided along with the Derivative Works; or,
+          within a display generated by the Derivative Works, if and
+          wherever such third-party notices normally appear. The contents
+          of the NOTICE file are for informational purposes only and
+          do not modify the License. You may add Your own attribution
+          notices within Derivative Works that You distribute, alongside
+          or as an addendum to the NOTICE text from the Work, provided
+          that such additional attribution notices cannot be construed
+          as modifying the License.
+
+      You may add Your own copyright statement to Your modifications and
+      may provide additional or different license terms and conditions
+      for use, reproduction, or distribution of Your modifications, or
+      for any such Derivative Works as a whole, provided Your use,
+      reproduction, and distribution of the Work otherwise complies with
+      the conditions stated in this License.
+
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+      any Contribution intentionally submitted for inclusion in the Work
+      by You to the Licensor shall be under the terms and conditions of
+      this License, without any additional terms or conditions.
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+      the terms of any separate license agreement you may have executed
+      with Licensor regarding such Contributions.
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+      names, trademarks, service marks, or product names of the Licensor,
+      except as required for reasonable and customary use in describing the
+      origin of the Work and reproducing the content of the NOTICE file.
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+      agreed to in writing, Licensor provides the Work (and each
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+      WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or
+      implied, including, without limitation, any warranties or conditions
+      of TITLE, NON-INFRINGEMENT, MERCHANTABILITY, or FITNESS FOR A
+      PARTICULAR PURPOSE. You are solely responsible for determining the
+      appropriateness of using or redistributing the Work and assume any
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+   8. Limitation of Liability. In no event and under no legal theory,
+      whether in tort (including negligence), contract, or otherwise,
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+      negligent acts) or agreed to in writing, shall any Contributor be
+      liable to You for damages, including any direct, indirect, special,
+      incidental, or consequential damages of any character arising as a
+      result of this License or out of the use or inability to use the
+      Work (including but not limited to damages for loss of goodwill,
+      work stoppage, computer failure or malfunction, or any and all
+      other commercial damages or losses), even if such Contributor
+      has been advised of the possibility of such damages.
+
+   9. Accepting Warranty or Additional Liability. While redistributing
+      the Work or Derivative Works thereof, You may choose to offer,
+      and charge a fee for, acceptance of support, warranty, indemnity,
+      or other liability obligations and/or rights consistent with this
+      License. However, in accepting such obligations, You may act only
+      on Your own behalf and on Your sole responsibility, not on behalf
+      of any other Contributor, and only if You agree to indemnify,
+      defend, and hold each Contributor harmless for any liability
+      incurred by, or claims asserted against, such Contributor by reason
+      of your accepting any such warranty or additional liability.
+
+   END OF TERMS AND CONDITIONS
+
+   APPENDIX: How to apply the Apache License to your work.
+
+      To apply the Apache License to your work, attach the following
+      boilerplate notice, with the fields enclosed by brackets "[]"
+      replaced with your own identifying information. (Don't include
+      the brackets!)  The text should be enclosed in the appropriate
+      comment syntax for the file format. We also recommend that a
+      file or class name and description of purpose be included on the
+      same "printed page" as the copyright notice for easier
+      identification within third-party archives.
+
+   Copyright [yyyy] [name of copyright owner]
+
+   Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License");
+   you may not use this file except in compliance with the License.
+   You may obtain a copy of the License at
+
+       http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0
+
+   Unless required by applicable law or agreed to in writing, software
+   distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS,
+   WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.
+   See the License for the specific language governing permissions and
+   limitations under the License.
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/MANIFEST.sha256 b/research/one-sided-six-multisets/MANIFEST.sha256
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--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/MANIFEST.sha256
@@ -0,0 +1,28 @@
+c71d239df91726fc519c6eb72d318ec65820627232b2f796219e87dcf35d0ab4  LICENSE
+d2008ff1d1c510c92986e10844fc0ea16b6b875e730b800f9ac968b9eac6cf75  NOTICE.md
+0dff138f7bb38e7d8119777d56cdbe677aa36cf50e1ac347f649bd9b64783d34  README.md
+704f3a85331e27fbb14b51feeba92cccb4c31004145cb5b6d978ca18ade1ffb3  SOURCES.json
+aed6d26aa9b4e4a194c79c7a569478b0518f268c082b4de1e939be8a211ff9bf  checks/check_logs.py
+559fbeaa6718036c5c5a4a93918983886b6ed06b80118ea4bcaeaa8ed53f067d  checks/gen.py
+98632467a6fd44a7737a570b994374ef74f9634c53cda6260223aa3e89547da8  checks/indep.py
+012739ff3dc3421c187ca089b361c0b1d49f808908a5a7efdb0603c20f08ca71  checks/manifest_check.py
+d4aba95b6fc6d7a9319a123d472f8ad82dce7ac27183e86e3e3cba24f1a73b35  checks/quad.py
+dbe1a4f6e4dfb9cc9d4f82b3f8e2683195c43a00d6d2d5363cc48a5fbdbcd840  checks/s66.c
+ac4a48851b922f2a433684b60c74768ae3bb4fc5e8990ffe63e3942bb3c2ea34  data/data.txt
+0679ba17f68761c9aea31230df8a7ac4a86533b24ee53d786dd1afa216a4b2c9  data/gens.txt
+167f8e2e31339dd2b7e3ae8fa6e76b33be14bab019889e38c580a8be5aaf34c0  evidence/logs/gen.log.txt
+47f8fe6aec7566ce156a73526a6a4ee1a4afb15567b314853d8d3135ea0ad050  evidence/logs/indep_m0.out.txt
+ff8db09fad8c4ae60d49bd9f23f4a6fc09fb5571eb65d46daa901e8ab3060a57  evidence/logs/indep_m1_c0.out.txt
+227da1960e4299037c023f3222d834b64c2d5bff41860f8e92f0dd5b8daefb25  evidence/logs/indep_m1_c1.out.txt
+eb4536ca0eb3b98b9cec3ef2510467b8c24e24ec4908ec7518b2672b24bbfb92  evidence/logs/indep_m1_c2.out.txt
+ee1b24e5169820cd4264d5f5092626b876bb06fd537c12bce1b315676a918469  evidence/logs/indep_m1_c3.out.txt
+54f000ba729fd47f98307888f18639daa86687ddddae93c8050506f94e23d1db  evidence/logs/indep_m1_c4.out.txt
+e8e518677dd9ec74ccad3d5d0ee9676dcede9a6cfa5f9b61f8dd124230effd37  evidence/logs/indep_m1_c5.out.txt
+3cff64f8d9c7bdae4cd6b129338fe3e6c36c983616e8515827025ac0ab28cbe1  evidence/logs/s66_m0.err.txt
+913560c826e2bd1d6f825b24a57ae283610779a8bcaa145e27ca648e2f9d2eb0  evidence/logs/s66_m0.out.txt
+fcbb847e6e8d75b851474ae2d9a2064ea375612a7a3624cf73aa717a6107b5a6  evidence/logs/s66_m0_d7.err.txt
+abb89ea3cc2715725b41a816094c69905060195f729b81297b1320b79c19627a  evidence/logs/s66_m0_d7.out.txt
+fb920f9b756cb3a049243c114d0481282fec9df4829196bdf4d8c223943d31e3  evidence/logs/s66_m1.err.txt
+7ced977f582c930a6e298bd49097baff2faa0d0bc8d676499a214751c0bd6c7c  evidence/logs/s66_m1.out.txt
+23bf63c77db7c14b9e04f686f9cb9c319c5067d5e6935299b6dcb1ca521f4a7d  requirements.txt
+bde4fad91303ffdc22ac0aacf957040c9c2ba2703661f42b9d70c14964702237  verify.sh
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new file mode 100644
index 0000000000..cee16d6de6
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/NOTICE.md
@@ -0,0 +1,14 @@
+# Notice
+
+Prepared by DreamingOfClouds with Claude Opus 5.5 (Anthropic), via Claude Code; Apache-2.0 (`LICENSE`, copied from the repository root).
+
+## Credits
+
+- Setting, notation and the open residue closed here: the author's **#2816** (and its predecessors **#2338**, **#2277**, **#2724**); the model is **#1224** (joaqcoo; one-sided nine-term decoders as overcomplete representations). **#2784** (ours) is cited for case (c).
+- The gain law cited in the README is philippeVV's (Discussion #1587, follow-up 6).
+- Tools: Python (standard library), `numpy`; a C compiler for `s66.c`. No SAT solver.
+- No file is copied from another contributor. `checks/manifest_check.py` is a copy of the author's file in `research/one-sided-decoders-all-m` (#2816); all other scripts are the author's working-card scripts (card SIX), with absolute paths removed.
+
+## New in this package
+
+Everything under `research/one-sided-six-multisets/`: `README.md`, `verify.sh`, `SOURCES.json`, `MANIFEST.sha256`, `checks/check_logs.py`, `checks/s66.c`, `checks/indep.py`, `checks/gen.py`, `checks/quad.py`, `data/`, `evidence/logs`.
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/README.md b/research/one-sided-six-multisets/README.md
new file mode 100644
index 0000000000..b338d26299
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/README.md
@@ -0,0 +1,115 @@
+# Decoder floors, case (b): the six remaining `d = 8` multisets of #2816 are dead (≥ 64 with ≤ 3 non-full corrections; E8 lifts ≥ 67; no κ claim)
+
+**Status: research note, a follow-up to #2816 (ours). Every claim is a written proof plus exact finite computations that `verify.sh` re-runs (about 30–40 minutes, at most 6 processes, each under `timeout 1200`, no SAT solver). No κ claim, no supplier word.**
+Only `research/one-sided-six-multisets/` is added; nothing existing is changed.
+
+Labels: **PROVEN** (written proof in this file, every finite input listed), **CHECKED** (an exact script re-run by `verify.sh`, assertion in `checks/check_logs.py`), **RECORDED** (a log shipped in `evidence/logs`, not re-run),
+**INHERITED** (a statement of #2816, cited from its text and not recomputed here), **OPEN**.
+
+## 0. Claims box (scope is part of the claim)
+
+Setting and notation are those of #2816 (P112 = the 112 non-frame lines of E8, dense F2-pairing of rank 9, Gram realisation, **case (b)**: factors `q_j ∈ col M`, factors `p_j` arbitrary; char 0; every number of terms `m`).
+`n_nf` = number of non-full corrected terms of the *normalised* decoder, exactly as defined in #2816 §0 / §6. `Δ` = ε-free cost − 64 (decoder level), `Δ = Σ_b w(ρb) − 64` (lift level), as in #2816 §6–7.
+
+| # | Statement | Status |
+|---|---|---|
+| S1 | **Basis Lemma** (`d = 8`): the fundamental circuits of a λ-basis give **8 linearly independent** codeword directions `h_y`, `Off(h_y) ⊆ U_B ∪ Λ(F_y)` (§2) | PROVEN |
+| S2 | **Lemma S66 / S66+t.** For any two 6-dimensional label subspaces `V_1, V_2` (plus, for S66+t, one further free line, chosen separately for each `h`), the directions `h` with `rank ℓ(Off(h) ∖ X) ≤ 7`, `X = Λ(V_1) ∪ Λ(V_2)`, span **at most 3** dimensions of `R^8` (at most 6 directions); control: two 7-dimensional flats reach rank 8 | CHECKED twice by two independent implementations (`s66.c`, `indep.py`), all 159 orbit representatives of `V_1` against all 776,805 line sets of `V_2` |
+| S3 | **Theorem 6.** None of `[7^5,6^5,1]`, `[7^6,6^4]`, `[7^8,5,4,1]`, `[7^8,5,5]`, `[7^8,6,3,1]`, `[7^8,6,4]` occurs as the minimum-weight basis of `T = S_{≤7}` with `d = 8` — these are exactly the six OPEN multisets of #2816 §0 / §9 | PROVEN from S1 + S2 (+ INHERITED flat caps `g(1..6)`) |
+| S4 | **`Δ ≤ 2 ⇒ n_nf ≤ Δ`** (decoder level) and **`Δ ≤ 2 ⇒ ρ_0 ≤ Δ`** (lift level) | PROVEN from S3 + INHERITED reduction of #2816 §5.3, §9; second, independent route in §5 below  |
+| S5 | **One-sided P112 decoders with `n_nf ≤ 3` non-full corrections (any number of full ones) cost ≥ 64**; in general corrected cost `≥ 64` for `n_nf ≤ 3` and `≥ 67 − n_nf` for `n_nf ≥ 3`, i.e. `≥ 64 − max(0, n_nf − 3) ≥ 59` (`n_nf ≤ 8`) — was `≥ 64 − max(0, n_nf − 2) ≥ 58` in #2816 | PROVEN from S4 |
+| S6 | **Lift level:** every `S ⊇ 𝒞_{X_I}` has `cost_w(S) ≥ 64 + Δ + max(0, |I| − ρ_0) ≥ 64 + min(|I|, 3)`; every lift of the E8 root code (every E8/P120 decoder) has `cost_w ≥ 67`, and `≥ 72` unless the P112 restriction has `Δ ≥ 3`; gain-law form `|P120| − C(P120) ≤ 53` | PROVEN from S4 |
+
+**Not claimed / OPEN.** `Δ ≥ n_nf` for general `n_nf` is OPEN; S5 is exactly what `Δ ≤ 2 ⇒ n_nf ≤ Δ` gives, and no more (§6). The corrected-cost root-swap family of #2816 is tight at `n_nf ≤ 4`, so a proof for `n_nf ≥ 4` would have to be exact on it. An extension to `Δ = 3` (`n_nf ≤ 4 ⇒ ≥ 64`) is **in progress** on other cards; nothing about it is claimed or used here.
+**Not covered** (as in #2816): two-sided decoders; case (c) (see #2784 for the A2 family); P104 and other punctured units; fields of positive characteristic.
+
+## 1. Overlap and credit
+
+Scanned: titles of the pull requests opened after #2816 (#2817–#2825 at the time of writing) and the open or merged decoder-floor titles that mention P112, one-sided decoders, non-full corrections or `Δ`. Nothing proves or kills any of the six multisets, uses a rank condition on the fundamental circuits, or states a floor for `n_nf = 3`. Nearest work: **#2816** (ours; this note closes its stated open residue at `n_nf = 3`), #2724 / #2338 / #2277 (ours), #2784 (ours, case (c)), #1224 (joaqcoo; the model), #1180, #1633, #1815 / #1609 (rigidity of one-sided masked fits), and the COPY-power PRs (different cost model).
+Credit: philippeVV (gain law, Discussion #1587 follow-up 6). No file is copied from another contributor.
+
+## 2. Setting, and what is inherited from #2816
+
+Throughout: `T = S_{≤7}` is the span of the codewords of weight ≤ 7 of the lift `S = col P ⊇ 𝒞`, with a minimum-weight basis `q_1..q_a` (weights `w_j ≤ 7`), `D = 𝒞 ∩ T`, `d = dim D`, `e = a − d`, `λ: T → T/D ≅ K^e`, `λ_j = λ(q_j)`, and `weight(p) = rank_F2 ℓ(supp p)` (#2816 §3). The root code is `𝒞 = {p_h}`, `Off(h) = supp p_h`, `p` is injective.
+`Λ(V)` = P112 lines whose label lies in the label subspace `V ⊆ F2^9`; `F_b` = label span of `supp q_b`, `dim F_b = w_b`.
+
+**Inherited from #2816 (not recomputed here; they are the CHECKED inputs of its `verify.sh`):**
+* `|Off(h)| ≥ 53` for `h ≠ 0`, `= 53` for the 112 roots, `56` for the 8 frame directions, `≥ 70` otherwise (§3.2 there); every codeword has weight ≥ 8 (§3.2 there), so every `λ_j ≠ 0`.
+* The flat caps `g(1..8) = 1, 2, 4, 8, 12, 20, 36, 64` (`g78.py`, `gsmall.py` there).
+* The **circuit lemma** (§5.3 there): a dependency `Σ_J a_j λ_j = 0` is a codeword in `D` supported in `∪_J supp q_j`.
+* The reduction at cost 66 (§5.3, §7, §9 there): `c66.py` and `land.py` leave, for slack ≤ 2, **exactly the six `d = 8` multisets** of §0 above (DP → LP → Pencil → triple rule); and the `d = 0, Δ ≤ 1` cases (`n_nf ≤ 1`, `ρ_0 ≤ 1`).
+
+Everything else is proved in this file or computed by `verify.sh` here.
+
+## 3. The Basis Lemma (PROVEN) and the six bases
+
+Take `d = 8`, so `D = 𝒞`, `a = e + 8`.
+
+**Lemma B.** Let `B` be any set of `e` pieces with `{λ_b : b ∈ B}` a basis of `K^e`, and `U_B := ∪_{b∈B} Λ(F_b)`. Then there are **8 linearly independent** directions `h_y` (one per non-basis piece `y ∉ B`) with `Off(h_y) ⊆ U_B ∪ Λ(F_y)`, `dim F_y = w_y ≤ 7`.
+*Proof.* Write `λ_y = Σ_{b∈B} c_b λ_b`; then `v_y := q_y − Σ c_b q_b ∈ ker λ = 𝒞`, so `v_y = p_{h_y}` for a unique `h_y`, and `v_y ≠ 0` because the `q`'s are a basis. `supp p_h = Off(h)`, and `supp v_y ⊆ supp q_y ∪ ∪_B supp q_b`; lines of `supp q_y` have labels in `F_y`, lines of `supp q_b` lie in `Λ(F_b)`. The `v_y` (`y ∉ B`; there are `a − e = 8` of them) have `q_y`-coefficient 1 in `v_y` and 0 in every `v_{y'}`, `y' ≠ y`, so they are linearly independent; `p` is injective, so the `h_y` are independent. ∎
+(The Pencil Lemma of #2816 §8 used only "distinct `h_y`"; here the `h_y` form a basis of `K^8`, a rank condition. It holds for every `d` with `d` in place of 8.)
+
+**Corollary (kill criterion).** For label subspaces `V_1..V_k` let `H(V_1..V_k)` be the set of directions `h` with `rank_F2 ℓ(Off(h) ∖ (Λ(V_1) ∪ … ∪ Λ(V_k))) ≤ 7`. If `U_B ⊆ Λ(V_1) ∪ … ∪ Λ(V_k)` then the 8 directions `h_y` lie in `H(V_1..V_k)` (since `ℓ(Off(h_y) ∖ U_B) ⊆ F_y` has rank ≤ 7). So if `dim span H(V_1..V_k) ≤ 7` for all such choices, the multiset is impossible.
+
+**Bases (PROVEN).** Any `e` pieces whose total support has `< 53` lines are λ-independent: a dependency would be a nonzero codeword (the `q`'s are independent) with `Off` inside their supports, but `|Off| ≥ 53`. Take `B` = the `e` smallest pieces:
+
+| multiset | e | B | `|U_B| ≤` | cover by (label subspaces of dim ≤ 6) |
+|---|---|---|---|---|
+| `[7^8,5,5]` | 2 | {5,5} | 24 | a 5-dim, a 5-dim |
+| `[7^8,6,4]` | 2 | {6,4} | 28 | a 6-dim, a 4-dim |
+| `[7^8,5,4,1]` | 3 | {5,4,1} | 21 | a 5-dim, span(4-piece, t) of dim ≤ 5 |
+| `[7^8,6,3,1]` | 3 | {6,3,1} | 25 | a 6-dim, span(3-piece, t) of dim ≤ 4 |
+| `[7^6,6^4]` | 2 | {6,6} | 40 | a 6-dim, a 6-dim |
+| `[7^5,6^5,1]` | 3 | {6,6,1} | 41 | a 6-dim, a 6-dim, **one extra line `t`** |
+
+`|U_B| ≤ 41 < 53` in every row (flat caps `g`), so `B` is λ-independent, hence a basis of `K^e`. Enlarging each cover to two 6-dimensional subspaces only enlarges `Λ(·)` (monotone), so the Corollary applies with `V_1, V_2` of dimension 6 (and one free line `t` in the last row).
+
+## 4. Lemma S66 (CHECKED twice) and Theorem 6
+
+**Direction list (PROVEN complete for `|Off| ≤ 80`, finite inputs CHECKED by `gen.py`).** If `|Off(h)| ≤ 80` then at least 32 P112 lines are ⊥ `h`; `Φ_h` = the E8 roots ⊥ `h` is a closed subsystem of rank ≤ 7 with ≥ 32 lines: rank 7 gives E7 (63 lines), D7 (42) or E6+A1 (37) (D6+A1 has 31 and A7 has 28, too few); rank 6 gives E6 (36); rank ≤ 5 gives ≤ 20 lines. Rank 7: `h` is proportional to the primitive normal of `M = h^⊥ ∩ E8`, and `|h|² = det M ≤ det(ℤΦ_h) ∈ {2, 4, 6}` (E8 is unimodular), so `h` is a lattice vector of norm 2, 4 or 6 (theta series 240 / 2160 / 6720, all enumerated). Rank 6 (E6): `P = Φ_h^⊥` is a plane with `det(P ∩ E8) = det M ≤ 3`, an even rank-2 lattice, hence A2: the family is an **A2 pencil**, and all 1120 A2 planes have generic `|Off| ∈ {78, 80}` (`gen.py`: 896 and 224). Values found (`gen.py`, `indep.py`): roots 53 (112), frame 56 (8), D7 70 / 73 / 76 (128 / 896 / 56), E6+A1 77 / 79 / 80 (2688 / 448 / 224), pencils 78 / 80. So `|Off| ≤ 76` gives the **1200 directions** (112 + 8 + 128 + 896 + 56); `≤ 77` adds the 2688 E6+A1 directions (3888 in `data.txt`).
+"There is a 7-dimensional `G ⊇ ℓ(R)`" is equivalent to `rank_F2 ℓ(R) ≤ 7`, so no enumeration of `G` is needed.
+
+**Lemma S66 (CHECKED, two implementations).** For every pair of 6-dimensional label subspaces `V_1, V_2` and `X := Λ(V_1) ∪ Λ(V_2)`:
+`dim_R span{ h : rank_F2 ℓ(Off(h) ∖ X) ≤ 7 } ≤ 3` (at most 6 such directions).
+**Lemma S66+t (CHECKED, two implementations).** The same with one further line removed from `Off(h) ∖ X`, chosen separately for each `h` (a superset of the set needed for the row `[7^5,6^5,1]`): span ≤ 3.
+*The 1200-list suffices.* An E6+A1 direction (`|Off| = 77`, every 7-dimensional label subspace holds ≤ 32 of its lines — computed, `gT.py` of #2816 and `cap` in `s66.c`) would need `|Off ∩ (X ∪ {t})| ≥ 45 > 41 ≥ |X ∪ {t}|`, so it never qualifies; `indep.py` uses the 1200-list in both modes, `s66.c` mode 1 the 3888-list (a harmless superset).
+
+* **`checks/s66.c`** (C): 12 generators of a group of order 172,032 acting on the 112 lines (8 frame reflections and 4 permutations of the Hamming [8,4,4] code; checked label-linear in `gen.py`); all 776,805 distinct line sets `Λ(V)` of 6-dimensional label subspaces (dual 3-dimensional subspaces of `F2^9`, 788,035 of them); **159 orbit representatives** for `V_1` against **all** `V_2`; exact F2 ranks; exact fraction-free integer real rank. Output: max real rank 3, max number of directions 6, rank-8 pairs 0, in both modes.
+* **`checks/indep.py`** (Python/numpy, written separately): other coordinates (frame coordinates `c_j = ⟨r, f_j⟩`), other labels (Gram mod 2 against a random unimodular root basis), directions rebuilt from sums of 1, 2, 3 pairwise orthogonal roots and checked against the theta counts 240 / 2160 / 6720, subspaces by RREF enumeration (788,035 duals, 776,805 distinct), its own orbit code (159 orbits), vectorised over `V_2`, `Fraction` rank. Run in both modes, **chunked 6 ways (`reps i::6`)**; `check_logs.py` asserts that the six chunks cover each of the 159 representatives exactly once. Result: max real rank 3, max 6 directions, in both modes — agrees with `s66.c`.
+* **Control (CHECKED).** `s66 0 7` (two 7-dimensional flats): max real rank **8**, 152 rank-8 pairs. So the test is not vacuous: the bound 3 is a property of 6-dimensional flats.
+
+**Theorem 6 (PROVEN from Lemma B + S66/S66+t).** None of `[7^5,6^5,1]`, `[7^6,6^4]`, `[7^8,5,4,1]`, `[7^8,5,5]`, `[7^8,6,3,1]`, `[7^8,6,4]` occurs as a minimum basis of `T = S_{≤7}` with `d = 8`.
+*Proof.* §3 gives a λ-basis `B` with `U_B ⊆ Λ(V_1) ∪ Λ(V_2)` (∪ `{t}` for `[7^5,6^5,1]`), `dim V_i = 6`. Lemma B gives 8 linearly independent directions `h_y` with `ℓ(Off(h_y) ∖ U_B)` of rank ≤ 7, which are 8 independent qualifying directions; Lemma S66 (S66+t for the last multiset) allows span ≤ 3. Contradiction. ∎
+**Basis-kill (PROVEN, same proof).** Any multiset with `d ≥ 4` that has `e` pieces packing into two groups of total weight ≤ 6 (plus at most one 1-piece) is impossible: `d` independent qualifying directions are needed and at most 3 exist.
+Double implementation by multiset: `[7^6,6^4]`, `[7^8,5,5]`, `[7^8,6,4]`, `[7^8,5,4,1]`, `[7^8,6,3,1]` need S66 (`s66.c` and `indep.py` mode 0); `[7^5,6^5,1]` needs S66+t (`s66.c` and `indep.py` mode 1).
+
+## 5. Consequences and the second route
+
+**Inheritance chain.** #2816 §5.3 / §9: for slack `Δ_w ≤ 2` the only unkilled `d ≥ 1` configurations are the six multisets; the `d = 0` cases at `Δ = 2` are closed there by the SMALL2 §10 root-swap argument (at most 2 root swaps). With Theorem 6, **every `d ≥ 1` configuration of slack ≤ 2 is impossible**, hence:
+
+1. **`Δ ≤ 2 ⇒ n_nf ≤ Δ` (decoder level) and `ρ_0 ≤ Δ` (lift level).** With `Δ ≤ 1` (#2816 §5.2, §7) this reads: `Δ ≥ n_nf` whenever `Δ ≤ 2`; equivalently `n_nf ≥ 3 ⇒ Δ ≥ 3`.
+2. **One-sided P112, corrected (S5).** Corrected cost `= 64 + Δ − n_nf`. If `Δ ≤ 2` then `n_nf ≤ Δ` and the cost is `≥ 64`; if `Δ ≥ 3` the cost is `≥ 67 − n_nf`. Hence every decoder with **`n_nf ≤ 3`** costs **`≥ 64`**, and **`≥ 67 − n_nf`** for `n_nf ≥ 3` (the coordinate decoder has `n_nf = 0` and cost 64): in all, **`≥ 64 − max(0, n_nf − 3) ≥ 59`** (`n_nf ≤ 8` after normalisation).
+3. **Lift level (S6).** `cost_w(S) = 64 + Δ + D ≥ 64 + Δ + max(0, |I| − ρ_0)` (#2816 §7). For `Δ ≤ 2` (`ρ_0 ≤ Δ`) this is `≥ 64 + max(Δ, |I|) ≥ 64 + |I|`; for `Δ ≥ 3` it is `≥ 64 + Δ ≥ 67`, and `≥ 64 + |I|` when `|I| ≤ 3`. So `cost_w(S) ≥ 64 + min(|I|, 3)` for every `I` and every `S ⊇ 𝒞_{X_I}`.
+4. **E8 / P120 (`I = [8]`).** Every lift of the E8 root code has `cost_w ≥ 67`, and `≥ 72` unless the P112 restriction has `Δ ≥ 3` (for `Δ ≤ 2` the bound of item 3 is `64 + max(Δ, 8) = 72`). Gain-law form: `|P120| − C(P120) ≤ 53`. A P120 decoder below 72 would need `ρ_0 > Δ ≥ 3`, i.e. ≥ 4 independent z-carrying restricted basis vectors.
+
+**Second route to item 1 (PROVEN; uses the written Carrier Lemma, the `d ≥ 1` kills above, and nothing from the SMALL2 §10 case split).**
+
+*Parity Lemma (PROVEN; recorded for the `κ = 3` extension, not used below).* Lines are E8 roots `r`; labels `ℓ = (1, r̄)`, `β(ℓ_a, ℓ_b) = 1 + ⟨r_a, r_b⟩ mod 2`. (i) Pairwise non-orthogonal lines have β-orthonormal labels, hence independent labels. (ii) Four pairwise non-orthogonal lines never have `ℓ_a + ℓ_b + ℓ_c + ℓ_d = 0`: that would mean `Σ ±r ∈ 2E8`, but `⟨r_a, Σ⟩ = 2 ± 1 ± 1 ± 1` is odd. (CHECKED, as a search over rank-4 quadruples only: `quad.py` finds 0 pairwise non-orthogonal rank-4 quadruples with label sum 0.)
+
+*`d = 0` Carrier Lemma for `κ ≤ 2` (PROVEN; all that is used).* Let `ρS = 𝒞 ⊕ T` with `T = (ρS)_{≤7}`, `𝒞 ∩ T = 0`, `κ := cost_w(T) ≤ 2`, and `F = {ρb ≠ 0}` a spanning family with `Σ_F w = 64 + Δ`, `Δ ≤ 7`. Then the number of z-carrying members of `F` is `≤ Δ`.
+*Proof.* `T` is spanned by ≤ 2 one-pieces or by one 2-piece, so `|supp T| ≤ κ ≤ 2`, and `T` contains no z-carrier (a 1- or 2-dimensional flat spanned by ≤ 2 labels contains no `z`: its affine elements are the labels themselves). Put `F_T := F ∩ T`, `F_8 := F ∖ T`. Every vector of weight ≤ 7 lies in `T`, so members of `F_8` have weight ≥ 8 and are `p_h + τ` with `h ≠ 0`. If `F_T` does not span `T` then `|F_8| ≥ 9` and `Σ_F w ≥ 72`; so `F_T` spans `T`, `|F_8| = 8` (else `Σ ≥ 72`), and `Δ ≥ (Σ_{F_T} w − κ) + κ + c_9 = Σ_{F_T} w + c_9`, with `c_9` the number of weight-9 members of `F_8`. A weight-8 member `v = p_h + τ` (`τ ∈ T`) has `|Off(h)| ≤ 64 + |supp T| ≤ 66`, so `h` is a frame or root direction (the next value is 70). Frame `h`: `N(f_j)` minus ≤ 2 lines has ≥ 54 lines, more than `g(7) = 36`, so its label span is all of `W_j`; the flat is `W_j ∌ z`: not carrying. Root `h = r_t`: `Off(r_t)` has label rank 9 and exactly one coloop (`t`), and no pair of lines other than the coloop lowers the rank (`coloop.py` of #2816, CHECKED there); so `t ∈ supp τ`, and every surviving line of `supp τ` must lie in `W_t`, i.e. `supp τ ⊆ Off(r_t)` (a line ⊥ `r_t` has `p_{r_t} = 0` there and cannot be cancelled): a **root swap at `t`**. The `h`'s of `F_8` form a basis of `(𝒞 ⊕ T)/T`, so the swaps sit at distinct lines `t ∈ supp T`: the number `m` of carriers in `F_8` is at most `|supp T| ≤ κ ≤ Σ_{F_T} w`. Hence carriers `≤ m + c_9 ≤ Σ_{F_T} w + c_9 ≤ Δ`. ∎
+(The same statement for `κ = 3` needs the 3-piece cases of the proof; that is part of the `Δ = 3` work in progress and is not claimed here.)
+
+*Pipeline (PROVEN).* Let `Δ ≤ 2`. Peeling (#2816 §3.2 (★)) gives `Σ_b w(ρb) = 64 + Δ ≥ cost_w(ρS) = 64 + (cost(T) − 8d) + 8x + c_8`, so the slack `cost(T) − 8d ≤ Δ ≤ 2`, `8x ≤ 2` i.e. `x = 0`. If `d ≥ 1` the multiset has slack ≤ 2, impossible by Theorem 6 and the inherited survivor list. So `d = 0`, `ρS = 𝒞 ⊕ T` and `κ = cost_w(T) ≤ 2`. The Carrier Lemma bounds the z-carrying members by `Δ`; `ρ_0 ≤ #carriers ≤ Δ`, and at decoder level the corrected terms are carriers of the same family, so `n_nf ≤ Δ`. ∎
+This route bypasses the case split (A)/(B)/(C) of OS-CHARGE2 §5 / SMALL2 §10 and uses only the `d ≥ 1` kills at slack ≤ 2 plus the Carrier Lemma; it agrees with item 1.
+
+## 6. What remains OPEN (exactly)
+
+1. **`Δ ≥ n_nf` for general `n_nf`**, i.e. corrected cost `≥ 64` with ≥ 4 non-full corrections. This note gives `Δ ≤ 2 ⇒ n_nf ≤ Δ` only. The root-swap family of #2816 §6 attains corrected cost exactly 64 for `n_nf = 1..4`.
+2. Two-sided decoders; case (c); other units; positive characteristic (as in #2816).
+3. An extension of the method to `Δ = 3` is in progress; it needs eight further `T`-level multisets killed (single-implementation so far) and is **not** part of this note.
+
+## 7. Reproduction
+
+`bash verify.sh [outdir]` (Python ≥ 3.11 with numpy ≥ 2.0 (`np.bitwise_count`); `cc` with 128-bit integers; `nice -n 10`; stages run one after the other, with at most 6 processes at a time and `timeout 1200` on every process; there are no wait loops). Step 0 checks `MANIFEST.sha256`; step 1 regenerates `data.txt` and `gens.txt` with `gen.py` (~15 s) and compares them byte for byte with `data/`, and runs the Parity-Lemma search; step 2 runs `s66.c` (modes 0 and 1 and the 7+7 control) as three parallel processes; steps 3–4 run `indep.py` in mode 0 and mode 1, six chunks each; step 5 `checks/check_logs.py` prints one PASS/FAIL line per assertion above.
+`evidence/logs` holds the logs of the original runs (RECORDED): `s66_m0`, `s66_m1`, `s66_m0_d7` (control), `indep_m0` (one serial run of about 50 minutes), `indep_m1_c0..c5` (the six chunks of mode 1), `gen.log`. `SOURCES.json` pins every shipped script to the working-card file it was copied from.
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/SOURCES.json b/research/one-sided-six-multisets/SOURCES.json
new file mode 100644
index 0000000000..3305bd8bab
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/SOURCES.json
@@ -0,0 +1,54 @@
+{
+ "description": "Pins for research/one-sided-six-multisets. copies = shipped file and the working-card file it was copied from (sha256 of both). Only difference: gen.py writes into the current directory instead of an absolute card path (OUT='') and has a one-line header comment. check_logs.py and verify.sh are new. evidence/logs are the original run logs of card SIX (suffix .txt added), RECORDED, not re-run; gen.log.txt is from a fresh run of the shipped gen.py. External: none pinned; #2816 is cited from its statement.",
+ "copies": [
+  {
+   "path": "checks/s66.c",
+   "source": "W/cards/SIX/s66.c",
+   "sha256": "dbe1a4f6e4dfb9cc9d4f82b3f8e2683195c43a00d6d2d5363cc48a5fbdbcd840",
+   "source_sha256": "dbe1a4f6e4dfb9cc9d4f82b3f8e2683195c43a00d6d2d5363cc48a5fbdbcd840",
+   "identical": true
+  },
+  {
+   "path": "checks/indep.py",
+   "source": "W/cards/SIX/indep.py",
+   "sha256": "98632467a6fd44a7737a570b994374ef74f9634c53cda6260223aa3e89547da8",
+   "source_sha256": "98632467a6fd44a7737a570b994374ef74f9634c53cda6260223aa3e89547da8",
+   "identical": true
+  },
+  {
+   "path": "checks/quad.py",
+   "source": "W/cards/SIX/quad.py",
+   "sha256": "d4aba95b6fc6d7a9319a123d472f8ad82dce7ac27183e86e3e3cba24f1a73b35",
+   "source_sha256": "d4aba95b6fc6d7a9319a123d472f8ad82dce7ac27183e86e3e3cba24f1a73b35",
+   "identical": true
+  },
+  {
+   "path": "checks/gen.py",
+   "source": "W/cards/SIX/gen.py",
+   "sha256": "559fbeaa6718036c5c5a4a93918983886b6ed06b80118ea4bcaeaa8ed53f067d",
+   "source_sha256": "edca462fbdab08964bd4fd1fcec2dd67b702f795bf9fb2a8eea1b9fa5806bc0a",
+   "identical": false
+  },
+  {
+   "path": "data/data.txt",
+   "source": "W/cards/SIX/data.txt",
+   "sha256": "ac4a48851b922f2a433684b60c74768ae3bb4fc5e8990ffe63e3942bb3c2ea34",
+   "source_sha256": "ac4a48851b922f2a433684b60c74768ae3bb4fc5e8990ffe63e3942bb3c2ea34",
+   "identical": true
+  },
+  {
+   "path": "data/gens.txt",
+   "source": "W/cards/SIX/gens.txt",
+   "sha256": "0679ba17f68761c9aea31230df8a7ac4a86533b24ee53d786dd1afa216a4b2c9",
+   "source_sha256": "0679ba17f68761c9aea31230df8a7ac4a86533b24ee53d786dd1afa216a4b2c9",
+   "identical": true
+  },
+  {
+   "path": "checks/manifest_check.py",
+   "source": "research/one-sided-decoders-all-m/checks/manifest_check.py (#2816)",
+   "sha256": "012739ff3dc3421c187ca089b361c0b1d49f808908a5a7efdb0603c20f08ca71",
+   "source_sha256": "012739ff3dc3421c187ca089b361c0b1d49f808908a5a7efdb0603c20f08ca71",
+   "identical": true
+  }
+ ]
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/checks/check_logs.py b/research/one-sided-six-multisets/checks/check_logs.py
new file mode 100644
index 0000000000..976faa765e
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/checks/check_logs.py
@@ -0,0 +1,40 @@
+# Step 5 of verify.sh: turns every CHECKED assertion of the README into a PASS/FAIL line.   usage: python check_logs.py LOGDIR
+import ast, os, re, sys
+L = sys.argv[1]
+def rd(n):
+    p = os.path.join(L, n)
+    return open(p).read() if os.path.isfile(p) else ''
+bad = 0
+def chk(name, cond, detail=''):
+    global bad
+    print(('PASS ' if cond else 'FAIL ') + name + (('  [' + detail + ']') if detail else ''))
+    bad += (not cond)
+# data regeneration and E8 data facts
+g = rd('gen.log')
+chk('data.txt and gens.txt regenerated byte-identical to data/', 'IDENTICAL' in rd('gen_cmp.log'))
+chk('gen: group on lines has order 172032, generators linear on labels', 'group order on lines 172032' in g and 'gens ok, linear on labels' in g)
+chk('gen: 3888 directions with |Off|<=77 and 1120 A2 planes (896 at generic |Off| 78, 224 at 80)', 'wrote 3888 finite 0 pencils' in g and '((36, 78), 896), ((36, 80), 224)' in g)
+chk('gen: Aut(Hamming [8,4,4]) of order 1344', 'Aut(Hamming) order 1344' in g)
+# Parity Lemma (ii): no quadruple
+q = rd('quad.log'); chk('Parity Lemma (ii), rank-4 quadruples: 0 pairwise non-orthogonal quadruples with label sum 0', 'quadruples (pairwise nonorth, label sum 0, rank 4): 0' in q)
+# s66.c
+for name, mode, dim, rk, nd, r8 in (('s66_m0', 0, 6, 3, 6, 0), ('s66_m1', 1, 6, 3, 6, 0)):
+    o, e = rd(name + '.out'), rd(name + '.err')
+    chk('%s: Lemma S66%s, all 159 orbit reps: max real rank %d, <= %d directions, 0 rank-8 pairs' % (name, '' if mode == 0 else '+t', rk, nd),
+        ('OVERALL mode %d dim %d: max real rank %d, max #directions %d, rank-8 pairs %d' % (mode, dim, rk, nd, r8)) in o
+        and len(re.findall(r'^rep \d+ lines', o, re.M)) == 159 and 'orbits: 159' in e and 'distinct line sets: 776805' in e)
+o, e = rd('s66_ctl.out'), rd('s66_ctl.err')
+chk('control: two 7-dim flats reach real rank 8 (152 pairs): the test is not vacuous', 'OVERALL mode 0 dim 7: max real rank 8' in o and 'rank-8 pairs 152' in o)
+# indep.py, chunked
+for mode in (0, 1):
+    got, ok = [], True; mr = 0; mn = 0; chunks = set()
+    for c in range(6):
+        t = rd('indep_m%d_c%d.out' % (mode, c))
+        m = re.search(r'DONE REPS (\[.*?\])', t); s = re.search(r'INDEP OVERALL mode (\d) chunk (\d) (\d) : max real rank (\d+) max #directions (\d+)', t)
+        if not m or not s or int(s.group(1)) != mode or int(s.group(2)) != c or int(s.group(3)) != 6 or 'orbits 159' not in t or 'distinct nonempty line sets 776805' not in t or 'directions with |Off|<=76: 1200' not in t:
+            ok = False; continue
+        reps = ast.literal_eval(m.group(1)); ok &= reps == list(range(c, 159, 6)); got += reps
+        mr = max(mr, int(s.group(4))); mn = max(mn, int(s.group(5))); chunks.add(c)
+    chk('indep.py mode %d (%s): 6 chunks, all 159 orbit reps covered exactly once' % (mode, 'S66' if mode == 0 else 'S66+t'), ok and sorted(got) == list(range(159)) and len(chunks) == 6, 'covered %d' % len(set(got)))
+    chk('indep.py mode %d: max real rank 3, <= 6 directions (agrees with s66.c)' % mode, ok and mr == 3 and mn == 6, 'rank %d, #dirs %d' % (mr, mn))
+print('check_logs: %d failing' % bad); sys.exit(1 if bad else 0)
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/checks/gen.py b/research/one-sided-six-multisets/checks/gen.py
new file mode 100644
index 0000000000..bded3a9249
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/checks/gen.py
@@ -0,0 +1,145 @@
+# Regenerates data.txt (labels, frame labels, 112 line coordinates, direction list |Off|<=77) and gens.txt (orbit generators).
+# Independent data generation (own coordinates, own labels, own direction list, own group/orbits).
+# Coordinates doubled (integers). E8 = D8 ∪ D8+(1/2)^8, roots norm 2 -> doubled norm 8.
+import itertools, numpy as np, sys, random
+from fractions import Fraction
+OUT=''   # write into the current directory
+LIM=int(sys.argv[1]) if len(sys.argv)>1 else 77
+DATA='data.txt' if LIM==77 else 'data%d.txt'%LIM
+roots=[]
+for i,j in itertools.combinations(range(8),2):
+    for si in (2,-2):
+        for sj in (2,-2):
+            v=[0]*8; v[i]=si; v[j]=sj; roots.append(tuple(v))
+for s in itertools.product((1,-1),repeat=8):
+    if s.count(-1)%2==0: roots.append(tuple(s))
+assert len(roots)==240
+def dot(a,b): return sum(x*y for x,y in zip(a,b))//4   # true inner product (doubled coords)
+lines=sorted({max(r,tuple(-x for x in r)) for r in roots}); assert len(lines)==120
+frame=[]
+for k in range(4):
+    a=[0]*8; a[2*k]=2; a[2*k+1]=2; frame.append(tuple(a))
+    b=[0]*8; b[2*k]=2; b[2*k+1]=-2; frame.append(tuple(b))
+frame=[max(f,tuple(-x for x in f)) for f in frame]
+for f,g in itertools.combinations(frame,2): assert dot(f,g)==0
+P=[l for l in lines if l not in frame]; assert len(P)==112
+# labels: coordinates of r in a Z-basis of E8, mod 2; basis = simple roots (Bourbaki, doubled)
+simple=[(1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1),(2,2,0,0,0,0,0,0),(-2,2,0,0,0,0,0,0),(0,-2,2,0,0,0,0,0),(0,0,-2,2,0,0,0,0),(0,0,0,-2,2,0,0,0),(0,0,0,0,-2,2,0,0),(0,0,0,0,0,-2,2,0)]
+M=np.array(simple,dtype=float).T
+assert abs(abs(np.linalg.det(np.array([[dot(a,b) for b in simple] for a in simple],dtype=float)))-1)<1e-9
+def lab(r):
+    n=np.linalg.solve(M,np.array(r,dtype=float)); ni=np.rint(n).astype(int); assert np.allclose(n,ni)
+    x=1
+    for k in range(8): x|=(int(ni[k])&1)<<(k+1)
+    return x
+LAB=[lab(r) for r in P]; assert len(set(LAB))==112
+ZL=[lab(f) for f in frame]
+# F2 rank of all labels =9
+def f2rank(vs):
+    bs=[]
+    for x in vs:
+        for b in bs: x=min(x,x^b)
+        if x: bs.append(x)
+    return len(bs)
+assert f2rank(LAB)==9
+# directions: E8 vectors of norm <= 8 (doubled norm <=32), primitive up to sign
+vecs=set()
+rng2=range(-6,7,2); rng1=range(-5,6,2)
+for v in itertools.product(rng2,repeat=8):
+    if 0<sum(x*x for x in v)<=32 and (sum(v)//2)%2==0: vecs.add(v)
+for v in itertools.product(rng1,repeat=8):
+    if sum(x*x for x in v)<=32 and ((sum(v)//2)%2==0): vecs.add(v)
+# D8 membership: integer coords (v/2) with even sum -> doubled coords even, sum(v)/2 even. half: v odd, sum(v/2) even.
+def prim(v):
+    from math import gcd
+    g=0
+    for x in v: g=gcd(g,abs(x))
+    v=tuple(x//g for x in v)
+    return max(v,tuple(-x for x in v))
+dirs={}
+for v in vecs:
+    p=prim(v); dirs.setdefault(p,v)
+def off(h): return [t for t,r in enumerate(P) if sum(a*b for a,b in zip(r,h))!=0]
+fin=[]
+from collections import Counter
+C=Counter()
+for p,v in dirs.items():
+    o=off(p)
+    if len(o)<=LIM:
+        nE8=sum(1 for l in lines if sum(a*b for a,b in zip(l,p))==0)
+        C[(sum(x*x for x in v)//4,nE8,len(o))]+=1; fin.append((p,o))
+print('finite directions |Off|<=77 by (norm,E8 lines perp,|Off|):',sorted(C.items()))
+# pencils: A2 planes span(a,b), a.b=-1 ; generic Off = lines not perp to both
+pen={}
+for a,b in itertools.combinations(lines,2):
+    if abs(dot(a,b))==1:
+        perp=frozenset(t for t,r in enumerate(P) if dot(r,a)==0 and dot(r,b)==0)
+        key=frozenset(l for l in lines if dot(l,a)==0 and dot(l,b)==0)
+        pen.setdefault(key,(a,b,perp))
+pens=[]
+CP=Counter()
+for key,(a,b,perp) in pen.items():
+    o=[t for t in range(112) if t not in perp]
+    CP[(len(key),len(o))]+=1
+    if len(o)<=LIM: pens.append((a,b,o))
+print('A2 planes (E8 lines perp, generic |Off|):',sorted(CP.items()))
+with open(OUT+DATA,'w') as f:
+    f.write(' '.join(map(str,LAB))+'\n')
+    f.write(' '.join(map(str,ZL))+'\n')
+    for r in P: f.write(' '.join(map(str,r))+'\n')
+    f.write('%d\n'%(len(fin)+len(pens)))
+    for p,o in fin: f.write('1 '+' '.join(map(str,p))+' : '+' '.join(map(str,o))+'\n')
+    for a,b,o in pens: f.write('2 '+' '.join(map(str,a))+' '+' '.join(map(str,b))+' : '+' '.join(map(str,o))+'\n')
+print('wrote',len(fin),'finite',len(pens),'pencils')
+# group: sign flips (reflections in frame roots) and coordinate-permutations of frame preserving supports
+def refl(f):
+    return lambda r: tuple(x - (2*sum(a*b for a,b in zip(r,f))//sum(y*y for y in f))*y for x,y in zip(r,f))
+idx={r:t for t,r in enumerate(P)}
+def lineperm(g):
+    out=[]
+    for r in P:
+        s=g(r); s=max(s,tuple(-x for x in s)); out.append(idx[s])
+    return out
+gens=[lineperm(refl(f)) for f in frame]
+# permutation part: c-coordinates c_j = r.f_j ; map c -> c∘pi^{-1}; r = sum c_j f_j /2
+Fm=np.array(frame,dtype=float)
+def cvec(r): return [dot(r,f) for f in frame]
+supps={frozenset(j for j,c in enumerate(cvec(r)) if c) for r in P}
+assert len(supps)==14 and all(len(s)==4 for s in supps)
+auts=[pi for pi in itertools.permutations(range(8)) if all(frozenset(pi[j] for j in s) in supps for s in supps)]
+print('Aut(Hamming) order',len(auts))
+random.seed(1)
+def mk(pi):
+    def g(r):
+        c=cvec(r); c2=[0]*8
+        for j in range(8): c2[pi[j]]=c[j]
+        v=sum(c2[j]*Fm[j] for j in range(8))/2
+        vi=tuple(int(round(x)) for x in v); return vi
+    return g
+for _ in range(4): gens.append(lineperm(mk(random.choice(auts))))
+# check group size generated on lines
+import collections
+def gsize(gens,limit=10**6):
+    I=tuple(range(112)); seen={I}; st=[I]
+    while st:
+        x=st.pop()
+        for g in gens:
+            y=tuple(g[i] for i in x)
+            if y not in seen:
+                seen.add(y); st.append(y)
+                if len(seen)>limit: return -1
+    return len(seen)
+print('group order on lines',gsize(gens))
+# label linearity of each generator: map must be induced by a linear map of F2^9
+for g in gens:
+    # solve linear map from a basis of labels
+    bs=[];imgs=[]
+    for t in range(112):
+        x=LAB[t]; y=LAB[g[t]]; xx=x; yy=y
+        for b,ib in zip(bs,imgs):
+            if (xx^b)<xx: xx^=b; yy^=ib
+        if xx: bs.append(xx); imgs.append(yy)
+        else: assert yy==0, 'nonlinear'
+with open(OUT+'gens.txt','w') as f:
+    for g in gens: f.write(' '.join(map(str,g))+'\n')
+print('gens ok, linear on labels')
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/checks/indep.py b/research/one-sided-six-multisets/checks/indep.py
new file mode 100644
index 0000000000..9c127f5ac9
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/checks/indep.py
@@ -0,0 +1,222 @@
+# SIX independent re-implementation of Lemma S66(+t). Different coordinates (frame c-coordinates), different labels
+# (Gram mod 2 against a random unimodular root basis), directions from sums of orthogonal roots (checked against the
+# E8 theta series 240/2160/6720), subspaces by RREF enumeration, own orbit code, numpy-vectorised over V2.
+import itertools, numpy as np, random, sys
+from fractions import Fraction
+mode=int(sys.argv[1]); CH=int(sys.argv[2]) if len(sys.argv)>2 else 0; NCH=int(sys.argv[3]) if len(sys.argv)>3 else 1   # 0: |Off|<=76, X = Λ(V1)∪Λ(V2);  1: |Off|<=77, plus one free line per h
+# Hamming [8,4,4] supports
+G=[0b11110000,0b11001100,0b10101010,0b11111111]
+code=set()
+for m in range(16):
+    x=0
+    for i in range(4):
+        if m>>i&1: x^=G[i]
+    code.add(x)
+supp4=[c for c in code if bin(c).count('1')==4]; assert len(supp4)==14
+# roots in c-coords (c_j = <r,f_j>): frame roots 2e_j, others ±1 on a weight-4 support; <r,s> = c.c'/2
+R=[]
+for j in range(8):
+    v=[0]*8; v[j]=2; R.append(tuple(v)); R.append(tuple(-x for x in v))
+for s in supp4:
+    pos=[j for j in range(8) if s>>j&1]
+    for sg in itertools.product((1,-1),repeat=4):
+        v=[0]*8
+        for p,g in zip(pos,sg): v[p]=g
+        R.append(tuple(v))
+assert len(R)==240
+ip=lambda a,b: Fraction(sum(x*y for x,y in zip(a,b)),2)
+for r in R: assert ip(r,r)==2
+assert all(ip(a,b).denominator==1 for a in R[:40] for b in R)
+canon=lambda v: max(tuple(v),tuple(-x for x in v))
+P=sorted({canon(r) for r in R if sum(1 for x in r if x)==4}); assert len(P)==112
+# labels: (1, <r,b_k> mod 2) for a unimodular basis b of E8 made of roots
+random.seed(7)
+while True:
+    B=random.sample(R,8)
+    Gm=np.array([[float(ip(a,b)) for b in B] for a in B])
+    if abs(abs(np.linalg.det(Gm))-1)<1e-6: break
+LAB=[1|sum(((int(ip(r,b))&1)<<(k+1)) for k,b in enumerate(B)) for r in P]
+assert len(set(LAB))==112
+# directions: primitive vectors h (in c-coords, up to scale) from sums of pairwise orthogonal roots (1,2,3 roots)
+def prim(v):
+    from math import gcd
+    g=0
+    for x in v: g=gcd(g,abs(int(x)))
+    return canon([int(x)//g for x in v])
+vecs={1:set(),2:set(),3:set()}
+Rl=R
+for a in Rl: vecs[1].add(a)
+for a,b in itertools.combinations(Rl,2):
+    if ip(a,b)==0: vecs[2].add(tuple(x+y for x,y in zip(a,b)))
+orth={a:[b for b in Rl if ip(a,b)==0] for a in Rl}
+for a in Rl:
+    for b in orth[a]:
+        for c in orth[a]:
+            if ip(b,c)==0 and b<c: vecs[3].add(tuple(x+y+z for x,y,z in zip(a,b,c)))
+n4={v for v in vecs[2] if ip(v,v)==4}; n6={v for v in vecs[3] if ip(v,v)==6}
+print('norm2',len(vecs[1]),'norm4',len(n4),'norm6',len(n6),'(theta: 240 2160 6720)')
+assert len(vecs[1])==240 and len(n4)==2160 and len(n6)==6720
+dirs={}
+for v in list(vecs[1])+list(n4)+list(n6): dirs.setdefault(prim(v),v)
+def offmask(h):
+    m=0
+    for t,r in enumerate(P):
+        if sum(x*y for x,y in zip(r,h))!=0: m|=1<<t
+    return m
+D=[]
+lim=76  # mode 1 also uses the 1200-list: E6+A1 (|Off|=77, cap 32) cannot qualify since |X ∪ t| <= 41 < 45
+for h in dirs:
+    m=offmask(h)
+    if bin(m).count('1')<=lim: D.append((h,m))
+print('directions with |Off|<=%d:'%lim,len(D))
+# A2 pencils: generic Off = lines not perp to both roots of an A2
+pmin=min(bin(sum(1<<t for t,r in enumerate(P) if not (sum(x*y for x,y in zip(r,a))==0 and sum(x*y for x,y in zip(r,b))==0))).count('1')
+         for a in Rl[:60] for b in Rl if ip(a,b)==-1)
+print('min generic |Off| over A2 pencils (sample of a):',pmin)
+def split(m): return (m & ((1<<64)-1), m>>64)
+# parity table
+par=np.array([[bin(w&l).count('1')&1 for l in LAB] for w in range(512)],dtype=bool)
+def lines_of_dual(ws):
+    ok=np.ones(112,dtype=bool)
+    for w in ws: ok&=~par[w]
+    m=0
+    for t in np.nonzero(ok)[0]: m|=1<<int(t)
+    return m
+# 7-flats: dual 2-dim; caps
+seen=set(); F7=[]
+for w1 in range(1,512):
+    for w2 in range(w1+1,512):
+        if (w1^w2)<w2: continue
+        F7.append(lines_of_dual([w1,w2]))
+print('7-flats',len(F7))
+F7a=np.array([split(m) for m in F7],dtype=np.uint64)
+def pcarr(a): return np.bitwise_count(a[:,0]).astype(np.int32)+np.bitwise_count(a[:,1]).astype(np.int32)
+Dm=np.array([split(m) for h,m in D],dtype=np.uint64)
+cap=[int(pcarr(F7a & Dm[i]).max()) for i in range(len(D))]
+print('caps',sorted(set(cap)))
+# all 6-dim subspaces: duals = 3-dim subspaces in RREF (pivots p1<p2<p3, entries at non-pivot columns right of pivot... use RREF over bit positions)
+masks=set()
+cnt=0
+for piv in itertools.combinations(range(9),3):
+    # row i has leading 1 at piv[i] (highest bit convention: bits > piv[i] zero), zero at other pivots, free at non-pivot bits < piv[i]
+    free=[[b for b in range(piv[i]) if b not in piv] for i in range(3)]
+    for bits in itertools.product(*[range(1<<len(f)) for f in free]):
+        ws=[]
+        for i in range(3):
+            w=1<<piv[i]
+            for k,b in enumerate(free[i]):
+                if bits[i]>>k&1: w|=1<<b
+            ws.append(w)
+        cnt+=1
+        m=lines_of_dual(ws)
+        if m: masks.add(m)
+print('3-dim duals',cnt,'(expect 788035); distinct nonempty line sets',len(masks))
+masks=sorted(masks); idx={m:i for i,m in enumerate(masks)}
+# group: sign flips and Hamming permutations, acting on c-coords
+auts=[pi for pi in itertools.permutations(range(8)) if all(sum(1<<pi[j] for j in range(8) if s>>j&1) in code for s in supp4)]
+pidx={r:t for t,r in enumerate(P)}
+def act(fn): return [pidx[canon(fn(r))] for r in P]
+gens=[act(lambda r,j=j: tuple(-x if k==j else x for k,x in enumerate(r))) for j in range(8)]
+random.seed(3)
+for _ in range(3):
+    pi=random.choice(auts)
+    gens.append(act(lambda r,pi=pi: tuple(r[pi.index(k)] for k in range(8))))
+# byte tables for fast mask mapping
+def table(g):
+    T=[]
+    for byte in range(14):
+        row=[]
+        for v in range(256):
+            o=0
+            for b in range(8):
+                if v>>b&1 and byte*8+b<112: o|=1<<g[byte*8+b]
+            row.append(o)
+        T.append(row)
+    return T
+TB=[table(g) for g in gens]
+def mp(m,T):
+    o=0; k=0
+    while m:
+        o|=T[k][m&255]; m>>=8; k+=1
+    return o
+parent=list(range(len(masks)))
+def fd(x):
+    while parent[x]!=x: parent[x]=parent[parent[x]]; x=parent[x]
+    return x
+for i,m in enumerate(masks):
+    for T in TB:
+        j=idx[mp(m,T)]; a,b=fd(i),fd(j)
+        if a!=b: parent[a]=b
+reps=[i for i in range(len(masks)) if fd(i)==i]
+print('orbits',len(reps))
+X2=np.array([split(m) for m in masks],dtype=np.uint64)
+def f2rank(m):
+    bs=[]
+    t=0
+    while m:
+        if m&1:
+            x=LAB[t]
+            for b in bs: x=min(x,x^b)
+            if x: bs.append(x)
+        m>>=1; t+=1
+    return len(bs)
+def ok_h(m):
+    if mode==0: return f2rank(m)<=7
+    # rank(R minus one line) <= 7  <=>  rank(R) <= 7, or rank(R) = 8 and some hyperplane of span(R) misses at most one line of R
+    labs=[LAB[t] for t in range(112) if m>>t&1]
+    bs=[]; 
+    for x in labs:
+        for b in bs: x=min(x,x^b)
+        if x: bs.append(x)
+    r=len(bs)
+    if r<=7: return True
+    if r>8: return False
+    # coordinates w.r.t. a basis chosen among the labels: Gaussian elimination tracking combinations
+    piv=[]  # (pivot vector reduced, coord bitmask)
+    for x in labs:
+        c=0; y=x
+        for (pv,pc) in piv:
+            if (y^pv)<y: y^=pv; c^=pc
+        if y: piv.append((y,c|(1<<len(piv))))
+    co=[]
+    for x in labs:
+        c=0; y=x
+        for (pv,pc) in piv:
+            if (y^pv)<y: y^=pv; c^=pc
+        assert y==0; co.append(c)
+    cnt=PAR8[np.array(co)].sum(axis=0)
+    return bool((cnt[1:]<=1).any())
+def qrank(vs):
+    rows=[[Fraction(x) for x in v] for v in vs]; r=0
+    for c in range(8):
+        p=next((i for i in range(r,len(rows)) if rows[i][c]!=0),None)
+        if p is None: continue
+        rows[r],rows[p]=rows[p],rows[r]
+        for i in range(len(rows)):
+            if i!=r and rows[i][c]!=0:
+                f=rows[i][c]/rows[r][c]; rows[i]=[a-f*b for a,b in zip(rows[i],rows[r])]
+        r+=1
+    return r
+slack=1 if mode==1 else 0
+PAR8=np.array([[bin(a&b).count('1')&1 for b in range(256)] for a in range(256)],dtype=np.int32)
+best=0; bestn=0
+done=[]
+for ri,i in enumerate(reps):
+    if ri%NCH!=CH: continue
+    done.append(ri)
+    X1=masks[i]; hits={}
+    for hi,(h,m) in enumerate(D):
+        r1=m & ~X1
+        if bin(r1).count('1')>cap[hi]+20+slack: continue
+        a=np.array(split(r1),dtype=np.uint64)
+        rr=np.empty_like(X2); rr[:,0]=a[0]&~X2[:,0]; rr[:,1]=a[1]&~X2[:,1]
+        cand=np.nonzero(pcarr(rr)<=cap[hi]+slack)[0]
+        for j in cand:
+            rm=int(rr[j,0])|(int(rr[j,1])<<64)
+            if ok_h(rm): hits.setdefault(int(j),[]).append(h)
+    for j,hs in hits.items():
+        bestn=max(bestn,len(hs))
+        best=max(best,qrank(hs))
+    if ri%20==0: print('rep',ri,'running max rank',best,'max #h',bestn,flush=True)
+print('DONE REPS',done)
+print('INDEP OVERALL mode',mode,'chunk',CH,NCH,': max real rank',best,'max #directions',bestn)
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/checks/manifest_check.py b/research/one-sided-six-multisets/checks/manifest_check.py
new file mode 100644
index 0000000000..0c39981713
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/checks/manifest_check.py
@@ -0,0 +1,12 @@
+# Step 0 of verify.sh: every line of MANIFEST.sha256 ("<sha256>  <relative path>") must match the file; the manifest must list every file of the package except itself.
+import hashlib, os, sys
+root = os.path.dirname(os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)))
+listed = {}
+for l in open(os.path.join(root, 'MANIFEST.sha256')):
+    h, p = l.rstrip('\n').split('  ', 1); listed[p] = h
+bad = [p for p, h in listed.items() if not os.path.isfile(os.path.join(root, p)) or hashlib.sha256(open(os.path.join(root, p), 'rb').read()).hexdigest() != h]
+allf = {os.path.relpath(os.path.join(d, f), root) for d, _, fs in os.walk(root) for f in fs if '__pycache__' not in d and f != 'MANIFEST.sha256' and not f.endswith('.pyc')}
+extra = sorted(allf - set(listed))
+print(('FAIL' if bad else 'PASS') + ' manifest: %d files hash-checked, %d mismatching %s' % (len(listed), len(bad), bad[:3]))
+print(('FAIL' if extra else 'PASS') + ' manifest lists every package file (%d unlisted %s)' % (len(extra), extra[:3]))
+sys.exit(1 if bad or extra else 0)
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/checks/quad.py b/research/one-sided-six-multisets/checks/quad.py
new file mode 100644
index 0000000000..af6b5e87b8
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/checks/quad.py
@@ -0,0 +1,22 @@
+# search: 4 E8 lines, pairwise non-orthogonal, labels summing to 0 (sum of roots in 2E8), roots linearly independent
+import itertools, numpy as np
+exec(open('gen.py').read().split('# directions:')[0])
+L=lines  # 120 E8 lines (doubled coords)
+lab120=[lab(r) for r in L]
+cnt=0; ex=[]
+idx=range(120)
+nb={i:[j for j in idx if dot(L[i],L[j])!=0 and j!=i] for i in idx}
+for a in idx:
+  for b in nb[a]:
+    if b<=a: continue
+    for c in nb[a]:
+      if c<=b or c not in nb[b]: continue
+      for d in nb[a]:
+        if d<=c or d not in nb[b] or d not in nb[c]: continue
+        if lab120[a]^lab120[b]^lab120[c]^lab120[d]: continue
+        M=np.array([L[a],L[b],L[c],L[d]],dtype=float)
+        if np.linalg.matrix_rank(M)<4: continue
+        cnt+=1
+        if len(ex)<3: ex.append((a,b,c,d))
+print('quadruples (pairwise nonorth, label sum 0, rank 4):',cnt)
+for q in ex: print([L[i] for i in q])
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/checks/s66.c b/research/one-sided-six-multisets/checks/s66.c
new file mode 100644
index 0000000000..dc5593b40b
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/checks/s66.c
@@ -0,0 +1,87 @@
+// SIX: Lemma S66 (exact). For every 6-dim label subspace V1 (orbit reps) and V2 (all), X = Λ(V1) ∪ Λ(V2) [∪ {t} in mode T]:
+// H = {directions h : rank_F2 lab(Off(h) \ X) <= 7}  [mode T: some single line t removed additionally, per h (superset)].
+// Report max real rank of span H. Directions: data.txt (|Off|<=77 complete list); mode 0 uses |Off|<=76.
+#include <stdio.h>
+#include <stdlib.h>
+#include <string.h>
+typedef unsigned __int128 u128; typedef __int128 i128;
+int LAB[112]; int PC[112][8]; int ND; int hv[5000][8]; int hoff_n[5000]; u128 OFF[5000]; int cap[5000];
+int nd_use;
+static inline int pc(u128 x){ return __builtin_popcountll((unsigned long long)x)+__builtin_popcountll((unsigned long long)(x>>64)); }
+int f2rank_mask(u128 R){ int B[9]={0}; int r=0; for(int t=0;t<112;t++) if((R>>t)&1){ int x=LAB[t]; for(int k=8;k>=0;k--){ if(!((x>>k)&1)) continue; if(B[k]) x^=B[k]; else { B[k]=x; r++; break; } } } return r; }
+// mode T: exists t in R with rank(R\t) <= 7
+int rank_minus_one_le7(u128 R){ int r=f2rank_mask(R); if(r<=7) return 1; if(r>8) return 0; for(int t=0;t<112;t++) if((R>>t)&1){ if(f2rank_mask(R&~(((u128)1)<<t))<=7) return 1; } return 0; }
+long long gcdll(long long a,long long b){ if(a<0)a=-a; if(b<0)b=-b; while(b){ long long t=a%b; a=b; b=t;} return a; }
+int realrank(int *list,int n){ long long Bm[8][8]; int piv[8]; int r=0;
+  for(int i=0;i<n;i++){ long long v[8]; for(int k=0;k<8;k++) v[k]=hv[list[i]][k];
+    for(int j=0;j<r;j++){ int p=piv[j]; if(v[p]==0) continue; long long a=Bm[j][p], b=v[p]; long long g=0; for(int k=0;k<8;k++){ v[k]=a*v[k]-b*Bm[j][k]; } for(int k=0;k<8;k++) g=gcdll(g,v[k]); if(g>1) for(int k=0;k<8;k++) v[k]/=g; }
+    int p=-1; for(int k=0;k<8;k++) if(v[k]){p=k;break;} if(p<0) continue; // also need to clear p in earlier rows? not needed for rank (echelon by distinct pivots)
+    // ensure pivots distinct: v reduced against all earlier pivots, so its first nonzero may still coincide with no earlier pivot? reduce until first nonzero not a pivot
+    int again=1; while(again){ again=0; for(int j=0;j<r;j++){ int q=piv[j]; if(v[q]!=0){ long long a=Bm[j][q], b=v[q]; long long g=0; for(int k=0;k<8;k++) v[k]=a*v[k]-b*Bm[j][k]; for(int k=0;k<8;k++) g=gcdll(g,v[k]); if(g>1) for(int k=0;k<8;k++) v[k]/=g; again=1; } } }
+    p=-1; for(int k=0;k<8;k++) if(v[k]){p=k;break;} if(p<0) continue;
+    for(int k=0;k<8;k++) Bm[r][k]=v[k]; piv[r]=p; r++; if(r==8) return 8; }
+  return r; }
+// subspaces
+u128 *SUB; int NS=0;
+int cmp128(const void*a,const void*b){ u128 x=*(u128*)a,y=*(u128*)b; return x<y?-1:x>y; }
+int par(int x){ return __builtin_popcount(x)&1; }
+int gens[16][112]; int NG=0;
+u128 mapmask(u128 m,int g){ u128 o=0; for(int t=0;t<112;t++) if((m>>t)&1) o|=((u128)1)<<gens[g][t]; return o; }
+int findidx(u128 m){ int lo=0,hi=NS-1; while(lo<=hi){ int mid=(lo+hi)/2; if(SUB[mid]==m) return mid; if(SUB[mid]<m) lo=mid+1; else hi=mid-1;} return -1; }
+int *uf; int fnd(int x){ while(uf[x]!=x){ uf[x]=uf[uf[x]]; x=uf[x];} return x; }
+int k; int w[9];
+void rec(int d,int *el,int nel,int last){ if(d==k){ u128 m=0; for(int t=0;t<112;t++){ int ok=1; for(int i=0;i<k;i++) if(par(LAB[t]&w[i])){ok=0;break;} if(ok) m|=((u128)1)<<t; } if(m) SUB[NS++]=m; return; }
+    for(int x=last+1;x<512;x++){ int in=0; for(int i=0;i<nel;i++) if(el[i]==x){in=1;break;} if(in) continue; // x must be min of x+span
+      int ok=1; for(int i=0;i<nel;i++) if((x^el[i])<x){ok=0;break;} if(!ok) continue;
+      int el2[512]; for(int i=0;i<nel;i++){ el2[i]=el[i]; el2[nel+i]=el[i]^x; } w[d]=x; rec(d+1,el2,2*nel,x); } }
+int main(int argc,char**argv){
+  int mode=atoi(argv[1]); // 0: S66 (|Off|<=76), 1: S66+t (|Off|<=77)
+  int sdim=argc>2?atoi(argv[2]):6; // dim of V1,V2
+  FILE*f=fopen("data.txt","r"); for(int i=0;i<112;i++) fscanf(f,"%d",&LAB[i]); int z; for(int i=0;i<8;i++) fscanf(f,"%d",&z);
+  for(int i=0;i<112;i++) for(int k=0;k<8;k++) fscanf(f,"%d",&PC[i][k]);
+  int nn; fscanf(f,"%d",&nn); ND=0;
+  for(int i=0;i<nn;i++){ int typ; fscanf(f,"%d",&typ); for(int k=0;k<8;k++) fscanf(f,"%d",&hv[ND][k]); if(typ==2){ fprintf(stderr,"pencil unexpected\n"); exit(1);} char s[4]; fscanf(f,"%s",s); u128 m=0; int c=0; int t; 
+    while(1){ long pos=ftell(f); int ch; do{ ch=fgetc(f);}while(ch==' '); if(ch=='\n'||ch==EOF) break; ungetc(ch,f); fscanf(f,"%d",&t); m|=((u128)1)<<t; c++; }
+    // verify Off from coords
+    u128 m2=0; for(int t2=0;t2<112;t2++){ long long d=0; for(int k=0;k<8;k++) d+=(long long)PC[t2][k]*hv[ND][k]; if(d) m2|=((u128)1)<<t2; } if(m2!=m){ fprintf(stderr,"off mismatch\n"); exit(1);} 
+    if(c<= (mode==0?76:77)){ OFF[ND]=m; hoff_n[ND]=c; ND++; } }
+  fclose(f);
+  f=fopen("gens.txt","r"); while(1){ int ok=1; for(int t=0;t<112;t++) if(fscanf(f,"%d",&gens[NG][t])!=1){ok=0;break;} if(!ok) break; NG++; } fclose(f);
+  fprintf(stderr,"directions %d, gens %d\n",ND,NG);
+  // caps: max |Off(h) ∩ Λ(G)| over 7-dim G (dual 2-dim: pairs w1<w2, w3=w1^w2)
+  u128 *G7=malloc(sizeof(u128)*44000); int n7=0;
+  for(int w1=1;w1<512;w1++) for(int w2=w1+1;w2<512;w2++){ int w3=w1^w2; if(w3<w2) continue; u128 m=0; for(int t=0;t<112;t++) if(!par(LAB[t]&w1)&&!par(LAB[t]&w2)) m|=((u128)1)<<t; G7[n7++]=m; }
+  fprintf(stderr,"7-flats %d\n",n7);
+  for(int h=0;h<ND;h++){ int b=0; for(int g=0;g<n7;g++){ int c=pc(OFF[h]&G7[g]); if(c>b) b=c; } cap[h]=b; }
+  { int hist[200]={0}; for(int h=0;h<ND;h++) hist[hoff_n[h]*0+cap[h]]++; fprintf(stderr,"cap histogram:"); for(int i=0;i<200;i++) if(hist[i]) fprintf(stderr," %d:%d",i,hist[i]); fprintf(stderr,"\n"); }
+  // all subspaces of dim sdim: dual of dim k=9-sdim, canonical basis: w1<w2<.. each = min of coset-new elements; enumerate via spans
+  k=9-sdim; SUB=malloc(sizeof(u128)*4000000);
+  // enumerate k-dim subspaces by canonical reduced basis: generate all, dedupe by line mask anyway
+  // simple recursive: choose basis vectors increasing with w_i = min element of (span_i \ span_{i-1}) -- ensures uniqueness
+
+  // iterative DFS
+  int stack_v[9]; int depth=0; stack_v[0]=0;
+  // generic recursion via function pointer avoided; use explicit loops for k<=5
+  int el0[1]={0}; rec(0,el0,1,0);
+  fprintf(stderr,"subspaces with >=1 line: %d\n",NS);
+  qsort(SUB,NS,sizeof(u128),cmp128); int u=0; for(int i=0;i<NS;i++) if(i==0||SUB[i]!=SUB[i-1]) SUB[u++]=SUB[i]; NS=u;
+  fprintf(stderr,"distinct line sets: %d\n",NS);
+  uf=malloc(sizeof(int)*NS); for(int i=0;i<NS;i++) uf[i]=i;
+  for(int i=0;i<NS;i++) for(int g=0;g<NG;g++){ int j=findidx(mapmask(SUB[i],g)); if(j<0){ fprintf(stderr,"image not a flat!\n"); exit(1);} int a=fnd(i),b=fnd(j); if(a!=b) uf[a]=b; }
+  int nrep=0; int *reps=malloc(sizeof(int)*NS); int *osz=calloc(NS,sizeof(int)); for(int i=0;i<NS;i++) osz[fnd(i)]++; for(int i=0;i<NS;i++) if(fnd(i)==i) reps[nrep++]=i;
+  fprintf(stderr,"orbits: %d\n",nrep);
+  int overall=0; long long nhits8=0; int maxcnt=0;
+  int *act=malloc(sizeof(int)*ND); u128 *R1=malloc(sizeof(u128)*ND);
+  int slack=(mode==1)?1:0;
+  for(int ri=0;ri<nrep;ri++){ u128 X1=SUB[reps[ri]]; int na=0; int vmax=0;
+    for(int h=0;h<ND;h++){ u128 r=OFF[h]&~X1; if(pc(r)<=cap[h]+20+slack){ act[na]=h; R1[na]=r; na++; } }
+    for(int j=0;j<NS;j++){ u128 X2=SUB[j]; int list[5000]; int n=0;
+      for(int a=0;a<na;a++){ u128 r=R1[a]&~X2; int h=act[a]; if(pc(r)>cap[h]+slack) continue; int ok = (mode==0)? (f2rank_mask(r)<=7) : rank_minus_one_le7(r); if(ok) list[n++]=h; }
+      if(n>maxcnt) maxcnt=n;
+      if(n>=8){ int rk=realrank(list,n); if(rk>vmax) vmax=rk; if(rk==8){ nhits8++; if(nhits8<=20) printf("RANK8 rep %d j %d n %d\n",ri,j,n);} } else if(n>vmax){ int rk=realrank(list,n); if(rk>vmax) vmax=rk; }
+    }
+    if(vmax>overall) overall=vmax;
+    printf("rep %d lines %d orbit %d active %d maxrank %d\n",ri,pc(X1),osz[reps[ri]],na,vmax); fflush(stdout);
+  }
+  printf("OVERALL mode %d dim %d: max real rank %d, max #directions %d, rank-8 pairs %lld\n",mode,sdim,overall,maxcnt,nhits8);
+}
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/data/data.txt b/research/one-sided-six-multisets/data/data.txt
new file mode 100644
index 0000000000..dc591a4e02
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/data/data.txt
@@ -0,0 +1,4003 @@
+257 425 421 269 385 297 293 397 65 193 449 361 357 461 205 77 97 225 481 329 325 493 237 109 17 49 113 241 497 345 341 509 253 125 61 29 3 171 427 271 299 399 143 39 363 463 207 103 79 231 487 323 331 495 239 71 111 199 455 355 47 135 391 291 263 419 163 11 347 511 255 87 127 215 471 371 63 151 407 307 279 435 179 27 31 183 439 275 311 403 147 59 375 467 211 123 83 251 507 351 25 57 121 249 505 337 349 501 245 117 53 21
+5 9 45 33 141 129 165 169
+0 0 0 0 0 2 -2 0
+0 0 0 0 0 2 0 -2
+0 0 0 0 0 2 0 2
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+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m0.out.txt
@@ -0,0 +1,16 @@
+norm2 240 norm4 2160 norm6 6720 (theta: 240 2160 6720)
+directions with |Off|<=76: 1200
+min generic |Off| over A2 pencils (sample of a): 78
+7-flats 43435
+caps [32, 36]
+3-dim duals 788035 (expect 788035); distinct nonempty line sets 776805
+orbits 159
+rep 0 running max rank 0 max #h 0
+rep 20 running max rank 3 max #h 6
+rep 40 running max rank 3 max #h 6
+rep 60 running max rank 3 max #h 6
+rep 80 running max rank 3 max #h 6
+rep 100 running max rank 3 max #h 6
+rep 120 running max rank 3 max #h 6
+rep 140 running max rank 3 max #h 6
+INDEP OVERALL mode 0 : max real rank 3 max #directions 6
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c0.out.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c0.out.txt
new file mode 100644
index 0000000000..2dedc728d3
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c0.out.txt
@@ -0,0 +1,12 @@
+norm2 240 norm4 2160 norm6 6720 (theta: 240 2160 6720)
+directions with |Off|<=76: 1200
+min generic |Off| over A2 pencils (sample of a): 78
+7-flats 43435
+caps [32, 36]
+3-dim duals 788035 (expect 788035); distinct nonempty line sets 776805
+orbits 159
+rep 0 running max rank 0 max #h 0
+rep 60 running max rank 3 max #h 6
+rep 120 running max rank 3 max #h 6
+DONE REPS [0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156]
+INDEP OVERALL mode 1 chunk 0 6 : max real rank 3 max #directions 6
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c1.out.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c1.out.txt
new file mode 100644
index 0000000000..1e529e35f8
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c1.out.txt
@@ -0,0 +1,9 @@
+norm2 240 norm4 2160 norm6 6720 (theta: 240 2160 6720)
+directions with |Off|<=76: 1200
+min generic |Off| over A2 pencils (sample of a): 78
+7-flats 43435
+caps [32, 36]
+3-dim duals 788035 (expect 788035); distinct nonempty line sets 776805
+orbits 159
+DONE REPS [1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 133, 139, 145, 151, 157]
+INDEP OVERALL mode 1 chunk 1 6 : max real rank 3 max #directions 6
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c2.out.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c2.out.txt
new file mode 100644
index 0000000000..d476e583d2
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c2.out.txt
@@ -0,0 +1,12 @@
+norm2 240 norm4 2160 norm6 6720 (theta: 240 2160 6720)
+directions with |Off|<=76: 1200
+min generic |Off| over A2 pencils (sample of a): 78
+7-flats 43435
+caps [32, 36]
+3-dim duals 788035 (expect 788035); distinct nonempty line sets 776805
+orbits 159
+rep 20 running max rank 3 max #h 6
+rep 80 running max rank 3 max #h 6
+rep 140 running max rank 3 max #h 6
+DONE REPS [2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68, 74, 80, 86, 92, 98, 104, 110, 116, 122, 128, 134, 140, 146, 152, 158]
+INDEP OVERALL mode 1 chunk 2 6 : max real rank 3 max #directions 6
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c3.out.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c3.out.txt
new file mode 100644
index 0000000000..b4867f59ef
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c3.out.txt
@@ -0,0 +1,9 @@
+norm2 240 norm4 2160 norm6 6720 (theta: 240 2160 6720)
+directions with |Off|<=76: 1200
+min generic |Off| over A2 pencils (sample of a): 78
+7-flats 43435
+caps [32, 36]
+3-dim duals 788035 (expect 788035); distinct nonempty line sets 776805
+orbits 159
+DONE REPS [3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99, 105, 111, 117, 123, 129, 135, 141, 147, 153]
+INDEP OVERALL mode 1 chunk 3 6 : max real rank 3 max #directions 6
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c4.out.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c4.out.txt
new file mode 100644
index 0000000000..e6c2980683
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c4.out.txt
@@ -0,0 +1,11 @@
+norm2 240 norm4 2160 norm6 6720 (theta: 240 2160 6720)
+directions with |Off|<=76: 1200
+min generic |Off| over A2 pencils (sample of a): 78
+7-flats 43435
+caps [32, 36]
+3-dim duals 788035 (expect 788035); distinct nonempty line sets 776805
+orbits 159
+rep 40 running max rank 3 max #h 6
+rep 100 running max rank 3 max #h 6
+DONE REPS [4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70, 76, 82, 88, 94, 100, 106, 112, 118, 124, 130, 136, 142, 148, 154]
+INDEP OVERALL mode 1 chunk 4 6 : max real rank 3 max #directions 6
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c5.out.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c5.out.txt
new file mode 100644
index 0000000000..8531350fd9
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/indep_m1_c5.out.txt
@@ -0,0 +1,9 @@
+norm2 240 norm4 2160 norm6 6720 (theta: 240 2160 6720)
+directions with |Off|<=76: 1200
+min generic |Off| over A2 pencils (sample of a): 78
+7-flats 43435
+caps [32, 36]
+3-dim duals 788035 (expect 788035); distinct nonempty line sets 776805
+orbits 159
+DONE REPS [5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89, 95, 101, 107, 113, 119, 125, 131, 137, 143, 149, 155]
+INDEP OVERALL mode 1 chunk 5 6 : max real rank 3 max #directions 4
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0.err.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0.err.txt
new file mode 100644
index 0000000000..31972192a5
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0.err.txt
@@ -0,0 +1,6 @@
+directions 1200, gens 12
+7-flats 43435
+cap histogram: 32:248 36:952
+subspaces with >=1 line: 777239
+distinct line sets: 776805
+orbits: 159
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0.out.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0.out.txt
new file mode 100644
index 0000000000..875d7364ea
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0.out.txt
@@ -0,0 +1,160 @@
+rep 0 lines 4 orbit 28 active 108 maxrank 0
+rep 1 lines 8 orbit 14 active 108 maxrank 2
+rep 2 lines 7 orbit 3584 active 108 maxrank 0
+rep 3 lines 6 orbit 224 active 118 maxrank 0
+rep 4 lines 7 orbit 512 active 119 maxrank 0
+rep 5 lines 8 orbit 336 active 120 maxrank 0
+rep 6 lines 8 orbit 168 active 118 maxrank 0
+rep 7 lines 6 orbit 672 active 108 maxrank 0
+rep 8 lines 8 orbit 672 active 118 maxrank 0
+rep 9 lines 8 orbit 896 active 120 maxrank 0
+rep 10 lines 8 orbit 336 active 108 maxrank 0
+rep 11 lines 14 orbit 3584 active 117 maxrank 0
+rep 12 lines 10 orbit 10752 active 119 maxrank 0
+rep 13 lines 12 orbit 2688 active 118 maxrank 0
+rep 14 lines 10 orbit 672 active 120 maxrank 0
+rep 15 lines 10 orbit 10752 active 119 maxrank 0
+rep 16 lines 20 orbit 896 active 114 maxrank 3
+rep 17 lines 10 orbit 2688 active 119 maxrank 0
+rep 18 lines 12 orbit 5376 active 119 maxrank 0
+rep 19 lines 11 orbit 10752 active 120 maxrank 0
+rep 20 lines 14 orbit 1792 active 116 maxrank 0
+rep 21 lines 16 orbit 896 active 117 maxrank 0
+rep 22 lines 8 orbit 1792 active 108 maxrank 1
+rep 23 lines 15 orbit 3584 active 120 maxrank 2
+rep 24 lines 12 orbit 896 active 118 maxrank 0
+rep 25 lines 12 orbit 896 active 116 maxrank 0
+rep 26 lines 12 orbit 336 active 118 maxrank 2
+rep 27 lines 12 orbit 336 active 118 maxrank 2
+rep 28 lines 12 orbit 672 active 120 maxrank 0
+rep 29 lines 12 orbit 672 active 118 maxrank 0
+rep 30 lines 8 orbit 336 active 108 maxrank 2
+rep 31 lines 16 orbit 168 active 118 maxrank 3
+rep 32 lines 16 orbit 896 active 120 maxrank 1
+rep 33 lines 16 orbit 2688 active 119 maxrank 0
+rep 34 lines 16 orbit 2688 active 118 maxrank 2
+rep 35 lines 10 orbit 2688 active 118 maxrank 0
+rep 36 lines 10 orbit 5376 active 119 maxrank 0
+rep 37 lines 14 orbit 672 active 120 maxrank 2
+rep 38 lines 8 orbit 168 active 114 maxrank 0
+rep 39 lines 16 orbit 84 active 118 maxrank 2
+rep 40 lines 16 orbit 168 active 114 maxrank 3
+rep 41 lines 16 orbit 672 active 119 maxrank 1
+rep 42 lines 12 orbit 112 active 118 maxrank 3
+rep 43 lines 14 orbit 21504 active 119 maxrank 0
+rep 44 lines 12 orbit 10752 active 118 maxrank 0
+rep 45 lines 12 orbit 10752 active 120 maxrank 0
+rep 46 lines 14 orbit 10752 active 118 maxrank 2
+rep 47 lines 11 orbit 21504 active 120 maxrank 0
+rep 48 lines 8 orbit 2688 active 108 maxrank 0
+rep 49 lines 16 orbit 448 active 119 maxrank 1
+rep 50 lines 12 orbit 112 active 118 maxrank 0
+rep 51 lines 14 orbit 5376 active 117 maxrank 0
+rep 52 lines 16 orbit 336 active 120 maxrank 0
+rep 53 lines 14 orbit 10752 active 119 maxrank 0
+rep 54 lines 14 orbit 5376 active 119 maxrank 0
+rep 55 lines 16 orbit 672 active 120 maxrank 3
+rep 56 lines 16 orbit 336 active 120 maxrank 2
+rep 57 lines 14 orbit 21504 active 119 maxrank 0
+rep 58 lines 12 orbit 5376 active 120 maxrank 1
+rep 59 lines 12 orbit 5376 active 120 maxrank 0
+rep 60 lines 16 orbit 168 active 120 maxrank 2
+rep 61 lines 12 orbit 336 active 120 maxrank 2
+rep 62 lines 16 orbit 1344 active 119 maxrank 1
+rep 63 lines 10 orbit 672 active 118 maxrank 0
+rep 64 lines 14 orbit 672 active 120 maxrank 2
+rep 65 lines 10 orbit 1344 active 120 maxrank 0
+rep 66 lines 14 orbit 1344 active 118 maxrank 2
+rep 67 lines 18 orbit 672 active 152 maxrank 3
+rep 68 lines 18 orbit 224 active 114 maxrank 3
+rep 69 lines 12 orbit 5376 active 120 maxrank 1
+rep 70 lines 12 orbit 1792 active 120 maxrank 0
+rep 71 lines 12 orbit 1792 active 118 maxrank 0
+rep 72 lines 12 orbit 1792 active 119 maxrank 0
+rep 73 lines 12 orbit 21504 active 119 maxrank 0
+rep 74 lines 16 orbit 5376 active 118 maxrank 2
+rep 75 lines 11 orbit 43008 active 119 maxrank 0
+rep 76 lines 15 orbit 21504 active 118 maxrank 2
+rep 77 lines 19 orbit 3584 active 114 maxrank 3
+rep 78 lines 14 orbit 10752 active 119 maxrank 0
+rep 79 lines 16 orbit 1344 active 118 maxrank 2
+rep 80 lines 12 orbit 896 active 119 maxrank 1
+rep 81 lines 16 orbit 7 active 120 maxrank 2
+rep 82 lines 20 orbit 336 active 152 maxrank 3
+rep 83 lines 11 orbit 10752 active 118 maxrank 0
+rep 84 lines 15 orbit 3584 active 120 maxrank 1
+rep 85 lines 16 orbit 10752 active 119 maxrank 0
+rep 86 lines 16 orbit 2688 active 120 maxrank 2
+rep 87 lines 16 orbit 10752 active 117 maxrank 0
+rep 88 lines 18 orbit 10752 active 141 maxrank 2
+rep 89 lines 14 orbit 1792 active 119 maxrank 2
+rep 90 lines 14 orbit 5376 active 119 maxrank 0
+rep 91 lines 14 orbit 5376 active 118 maxrank 2
+rep 92 lines 16 orbit 1792 active 119 maxrank 1
+rep 93 lines 16 orbit 672 active 117 maxrank 1
+rep 94 lines 20 orbit 2688 active 152 maxrank 3
+rep 95 lines 18 orbit 10752 active 152 maxrank 3
+rep 96 lines 16 orbit 2688 active 120 maxrank 0
+rep 97 lines 16 orbit 1344 active 120 maxrank 0
+rep 98 lines 18 orbit 2688 active 151 maxrank 3
+rep 99 lines 16 orbit 1792 active 119 maxrank 0
+rep 100 lines 16 orbit 1792 active 117 maxrank 2
+rep 101 lines 16 orbit 10752 active 119 maxrank 0
+rep 102 lines 19 orbit 10752 active 152 maxrank 3
+rep 103 lines 16 orbit 3584 active 119 maxrank 0
+rep 104 lines 20 orbit 5376 active 152 maxrank 3
+rep 105 lines 12 orbit 3584 active 120 maxrank 1
+rep 106 lines 8 orbit 28 active 120 maxrank 0
+rep 107 lines 16 orbit 3584 active 119 maxrank 1
+rep 108 lines 16 orbit 5376 active 119 maxrank 1
+rep 109 lines 16 orbit 10752 active 119 maxrank 1
+rep 110 lines 16 orbit 3584 active 119 maxrank 1
+rep 111 lines 14 orbit 5376 active 117 maxrank 0
+rep 112 lines 14 orbit 5376 active 119 maxrank 0
+rep 113 lines 12 orbit 1792 active 118 maxrank 0
+rep 114 lines 12 orbit 1792 active 119 maxrank 0
+rep 115 lines 16 orbit 1792 active 117 maxrank 0
+rep 116 lines 14 orbit 3584 active 120 maxrank 0
+rep 117 lines 16 orbit 1792 active 119 maxrank 3
+rep 118 lines 16 orbit 21504 active 119 maxrank 0
+rep 119 lines 16 orbit 2688 active 119 maxrank 1
+rep 120 lines 16 orbit 168 active 120 maxrank 0
+rep 121 lines 20 orbit 1792 active 152 maxrank 3
+rep 122 lines 8 orbit 336 active 118 maxrank 0
+rep 123 lines 16 orbit 5376 active 117 maxrank 1
+rep 124 lines 16 orbit 5376 active 118 maxrank 2
+rep 125 lines 16 orbit 168 active 118 maxrank 2
+rep 126 lines 16 orbit 10752 active 119 maxrank 0
+rep 127 lines 14 orbit 5376 active 118 maxrank 0
+rep 128 lines 10 orbit 5376 active 118 maxrank 0
+rep 129 lines 10 orbit 5376 active 120 maxrank 0
+rep 130 lines 14 orbit 5376 active 117 maxrank 0
+rep 131 lines 19 orbit 14336 active 141 maxrank 2
+rep 132 lines 15 orbit 43008 active 119 maxrank 0
+rep 133 lines 15 orbit 14336 active 117 maxrank 0
+rep 134 lines 15 orbit 43008 active 119 maxrank 0
+rep 135 lines 15 orbit 14336 active 117 maxrank 0
+rep 136 lines 18 orbit 2688 active 114 maxrank 3
+rep 137 lines 18 orbit 5376 active 141 maxrank 2
+rep 138 lines 10 orbit 10752 active 120 maxrank 0
+rep 139 lines 12 orbit 5376 active 120 maxrank 0
+rep 140 lines 16 orbit 1344 active 118 maxrank 2
+rep 141 lines 20 orbit 5376 active 141 maxrank 2
+rep 142 lines 12 orbit 10752 active 119 maxrank 1
+rep 143 lines 12 orbit 1792 active 118 maxrank 0
+rep 144 lines 12 orbit 3584 active 119 maxrank 0
+rep 145 lines 12 orbit 1792 active 120 maxrank 0
+rep 146 lines 12 orbit 2688 active 120 maxrank 0
+rep 147 lines 12 orbit 3584 active 119 maxrank 1
+rep 148 lines 12 orbit 5376 active 119 maxrank 1
+rep 149 lines 20 orbit 1792 active 141 maxrank 2
+rep 150 lines 12 orbit 672 active 120 maxrank 2
+rep 151 lines 12 orbit 672 active 118 maxrank 2
+rep 152 lines 12 orbit 224 active 120 maxrank 2
+rep 153 lines 12 orbit 1792 active 119 maxrank 2
+rep 154 lines 12 orbit 28 active 120 maxrank 2
+rep 155 lines 20 orbit 896 active 141 maxrank 2
+rep 156 lines 12 orbit 336 active 120 maxrank 2
+rep 157 lines 16 orbit 336 active 118 maxrank 2
+rep 158 lines 12 orbit 336 active 120 maxrank 2
+OVERALL mode 0 dim 6: max real rank 3, max #directions 6, rank-8 pairs 0
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0_d7.err.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0_d7.err.txt
new file mode 100644
index 0000000000..be8db19f16
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0_d7.err.txt
@@ -0,0 +1,6 @@
+directions 1200, gens 12
+7-flats 43435
+cap histogram: 32:248 36:952
+subspaces with >=1 line: 43180
+distinct line sets: 43180
+orbits: 51
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0_d7.out.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0_d7.out.txt
new file mode 100644
index 0000000000..657bf57669
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m0_d7.out.txt
@@ -0,0 +1,72 @@
+RANK8 rep 0 j 19119 n 56
+RANK8 rep 0 j 27577 n 64
+RANK8 rep 0 j 36328 n 64
+rep 0 lines 24 orbit 56 active 360 maxrank 8
+RANK8 rep 1 j 19118 n 56
+RANK8 rep 1 j 27578 n 64
+RANK8 rep 1 j 36327 n 64
+rep 1 lines 24 orbit 56 active 328 maxrank 8
+RANK8 rep 2 j 11584 n 61
+RANK8 rep 2 j 19115 n 56
+RANK8 rep 2 j 41617 n 68
+rep 2 lines 24 orbit 448 active 350 maxrank 8
+RANK8 rep 3 j 9642 n 60
+RANK8 rep 3 j 14827 n 56
+RANK8 rep 3 j 41831 n 67
+rep 3 lines 24 orbit 448 active 485 maxrank 8
+RANK8 rep 4 j 14204 n 56
+RANK8 rep 4 j 28647 n 60
+RANK8 rep 4 j 34852 n 60
+rep 4 lines 20 orbit 168 active 136 maxrank 8
+RANK8 rep 5 j 15389 n 60
+RANK8 rep 5 j 26338 n 61
+RANK8 rep 5 j 35157 n 61
+rep 5 lines 22 orbit 2688 active 294 maxrank 8
+RANK8 rep 6 j 1181 n 56
+RANK8 rep 6 j 2044 n 56
+rep 6 lines 16 orbit 7 active 120 maxrank 8
+rep 7 lines 32 orbit 56 active 1139 maxrank 8
+rep 8 lines 24 orbit 28 active 430 maxrank 8
+rep 9 lines 28 orbit 168 active 1104 maxrank 8
+rep 10 lines 28 orbit 168 active 960 maxrank 8
+rep 11 lines 28 orbit 128 active 870 maxrank 8
+rep 12 lines 28 orbit 448 active 870 maxrank 8
+rep 13 lines 28 orbit 448 active 1035 maxrank 8
+rep 14 lines 24 orbit 448 active 384 maxrank 8
+rep 15 lines 26 orbit 2688 active 807 maxrank 8
+rep 16 lines 24 orbit 224 active 509 maxrank 8
+rep 17 lines 30 orbit 2688 active 1174 maxrank 8
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+rep 21 lines 28 orbit 896 active 1001 maxrank 8
+rep 22 lines 34 orbit 2688 active 1182 maxrank 8
+rep 23 lines 28 orbit 896 active 862 maxrank 8
+rep 24 lines 28 orbit 896 active 937 maxrank 8
+rep 25 lines 36 orbit 448 active 1194 maxrank 8
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+rep 27 lines 32 orbit 448 active 1164 maxrank 8
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+rep 30 lines 32 orbit 448 active 1192 maxrank 8
+rep 31 lines 26 orbit 2688 active 653 maxrank 8
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+rep 33 lines 28 orbit 448 active 993 maxrank 8
+rep 34 lines 32 orbit 896 active 1130 maxrank 8
+rep 35 lines 24 orbit 224 active 290 maxrank 8
+rep 36 lines 32 orbit 224 active 1145 maxrank 8
+rep 37 lines 32 orbit 336 active 1192 maxrank 8
+rep 38 lines 30 orbit 5376 active 1074 maxrank 8
+rep 39 lines 28 orbit 64 active 1057 maxrank 8
+rep 40 lines 32 orbit 112 active 1192 maxrank 8
+rep 41 lines 32 orbit 336 active 1139 maxrank 8
+rep 42 lines 28 orbit 448 active 894 maxrank 8
+rep 43 lines 24 orbit 448 active 368 maxrank 8
+rep 44 lines 26 orbit 5376 active 694 maxrank 8
+rep 45 lines 34 orbit 896 active 1116 maxrank 8
+rep 46 lines 24 orbit 448 active 360 maxrank 8
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+rep 48 lines 32 orbit 21 active 1192 maxrank 8
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+rep 50 lines 24 orbit 28 active 368 maxrank 8
+OVERALL mode 0 dim 7: max real rank 8, max #directions 80, rank-8 pairs 152
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m1.err.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m1.err.txt
new file mode 100644
index 0000000000..7ceec1d435
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m1.err.txt
@@ -0,0 +1,6 @@
+directions 3888, gens 12
+7-flats 43435
+cap histogram: 32:2936 36:952
+subspaces with >=1 line: 777239
+distinct line sets: 776805
+orbits: 159
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m1.out.txt b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m1.out.txt
new file mode 100644
index 0000000000..2c0b9343ce
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/evidence/logs/s66_m1.out.txt
@@ -0,0 +1,160 @@
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+rep 9 lines 8 orbit 896 active 120 maxrank 0
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+rep 13 lines 12 orbit 2688 active 120 maxrank 0
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+rep 15 lines 10 orbit 10752 active 120 maxrank 2
+rep 16 lines 20 orbit 896 active 120 maxrank 3
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+rep 19 lines 11 orbit 10752 active 120 maxrank 2
+rep 20 lines 14 orbit 1792 active 119 maxrank 0
+rep 21 lines 16 orbit 896 active 126 maxrank 2
+rep 22 lines 8 orbit 1792 active 119 maxrank 2
+rep 23 lines 15 orbit 3584 active 120 maxrank 2
+rep 24 lines 12 orbit 896 active 118 maxrank 2
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+rep 30 lines 8 orbit 336 active 118 maxrank 2
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+rep 43 lines 14 orbit 21504 active 120 maxrank 1
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+rep 50 lines 12 orbit 112 active 118 maxrank 2
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+rep 56 lines 16 orbit 336 active 120 maxrank 2
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+rep 59 lines 12 orbit 5376 active 120 maxrank 2
+rep 60 lines 16 orbit 168 active 136 maxrank 2
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+rep 62 lines 16 orbit 1344 active 128 maxrank 2
+rep 63 lines 10 orbit 672 active 120 maxrank 0
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+rep 69 lines 12 orbit 5376 active 120 maxrank 2
+rep 70 lines 12 orbit 1792 active 120 maxrank 2
+rep 71 lines 12 orbit 1792 active 119 maxrank 2
+rep 72 lines 12 orbit 1792 active 119 maxrank 2
+rep 73 lines 12 orbit 21504 active 120 maxrank 2
+rep 74 lines 16 orbit 5376 active 136 maxrank 2
+rep 75 lines 11 orbit 43008 active 120 maxrank 2
+rep 76 lines 15 orbit 21504 active 120 maxrank 2
+rep 77 lines 19 orbit 3584 active 120 maxrank 3
+rep 78 lines 14 orbit 10752 active 120 maxrank 1
+rep 79 lines 16 orbit 1344 active 127 maxrank 2
+rep 80 lines 12 orbit 896 active 119 maxrank 2
+rep 81 lines 16 orbit 7 active 120 maxrank 2
+rep 82 lines 20 orbit 336 active 152 maxrank 3
+rep 83 lines 11 orbit 10752 active 120 maxrank 0
+rep 84 lines 15 orbit 3584 active 120 maxrank 2
+rep 85 lines 16 orbit 10752 active 136 maxrank 2
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+rep 87 lines 16 orbit 10752 active 120 maxrank 0
+rep 88 lines 18 orbit 10752 active 144 maxrank 3
+rep 89 lines 14 orbit 1792 active 119 maxrank 2
+rep 90 lines 14 orbit 5376 active 119 maxrank 2
+rep 91 lines 14 orbit 5376 active 119 maxrank 2
+rep 92 lines 16 orbit 1792 active 127 maxrank 2
+rep 93 lines 16 orbit 672 active 127 maxrank 2
+rep 94 lines 20 orbit 2688 active 152 maxrank 3
+rep 95 lines 18 orbit 10752 active 152 maxrank 3
+rep 96 lines 16 orbit 2688 active 152 maxrank 2
+rep 97 lines 16 orbit 1344 active 136 maxrank 2
+rep 98 lines 18 orbit 2688 active 151 maxrank 3
+rep 99 lines 16 orbit 1792 active 143 maxrank 2
+rep 100 lines 16 orbit 1792 active 127 maxrank 3
+rep 101 lines 16 orbit 10752 active 136 maxrank 1
+rep 102 lines 19 orbit 10752 active 152 maxrank 3
+rep 103 lines 16 orbit 3584 active 128 maxrank 2
+rep 104 lines 20 orbit 5376 active 152 maxrank 3
+rep 105 lines 12 orbit 3584 active 120 maxrank 2
+rep 106 lines 8 orbit 28 active 120 maxrank 2
+rep 107 lines 16 orbit 3584 active 136 maxrank 2
+rep 108 lines 16 orbit 5376 active 144 maxrank 1
+rep 109 lines 16 orbit 10752 active 136 maxrank 2
+rep 110 lines 16 orbit 3584 active 128 maxrank 2
+rep 111 lines 14 orbit 5376 active 119 maxrank 0
+rep 112 lines 14 orbit 5376 active 119 maxrank 1
+rep 113 lines 12 orbit 1792 active 119 maxrank 0
+rep 114 lines 12 orbit 1792 active 119 maxrank 1
+rep 115 lines 16 orbit 1792 active 119 maxrank 2
+rep 116 lines 14 orbit 3584 active 120 maxrank 2
+rep 117 lines 16 orbit 1792 active 135 maxrank 3
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+rep 119 lines 16 orbit 2688 active 128 maxrank 2
+rep 120 lines 16 orbit 168 active 120 maxrank 2
+rep 121 lines 20 orbit 1792 active 152 maxrank 3
+rep 122 lines 8 orbit 336 active 120 maxrank 2
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+rep 125 lines 16 orbit 168 active 120 maxrank 2
+rep 126 lines 16 orbit 10752 active 128 maxrank 2
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+rep 132 lines 15 orbit 43008 active 120 maxrank 1
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+rep 134 lines 15 orbit 43008 active 120 maxrank 2
+rep 135 lines 15 orbit 14336 active 120 maxrank 0
+rep 136 lines 18 orbit 2688 active 119 maxrank 3
+rep 137 lines 18 orbit 5376 active 143 maxrank 3
+rep 138 lines 10 orbit 10752 active 120 maxrank 2
+rep 139 lines 12 orbit 5376 active 120 maxrank 2
+rep 140 lines 16 orbit 1344 active 120 maxrank 2
+rep 141 lines 20 orbit 5376 active 224 maxrank 3
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+rep 144 lines 12 orbit 3584 active 120 maxrank 1
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+rep 146 lines 12 orbit 2688 active 120 maxrank 2
+rep 147 lines 12 orbit 3584 active 120 maxrank 2
+rep 148 lines 12 orbit 5376 active 120 maxrank 2
+rep 149 lines 20 orbit 1792 active 222 maxrank 3
+rep 150 lines 12 orbit 672 active 120 maxrank 2
+rep 151 lines 12 orbit 672 active 120 maxrank 2
+rep 152 lines 12 orbit 224 active 120 maxrank 2
+rep 153 lines 12 orbit 1792 active 120 maxrank 2
+rep 154 lines 12 orbit 28 active 120 maxrank 2
+rep 155 lines 20 orbit 896 active 227 maxrank 3
+rep 156 lines 12 orbit 336 active 120 maxrank 2
+rep 157 lines 16 orbit 336 active 136 maxrank 2
+rep 158 lines 12 orbit 336 active 120 maxrank 2
+OVERALL mode 1 dim 6: max real rank 3, max #directions 6, rank-8 pairs 0
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/requirements.txt b/research/one-sided-six-multisets/requirements.txt
new file mode 100644
index 0000000000..88dd02af05
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/requirements.txt
@@ -0,0 +1 @@
+numpy>=2.0
diff --git a/research/one-sided-six-multisets/verify.sh b/research/one-sided-six-multisets/verify.sh
new file mode 100755
index 0000000000..d888fb866f
--- /dev/null
+++ b/research/one-sided-six-multisets/verify.sh
@@ -0,0 +1,48 @@
+#!/usr/bin/env bash
+# Verification of research/one-sided-six-multisets (no kappa claim).   usage: bash verify.sh [/fresh/output/dir]
+# Needs: Python >= 3.11 with numpy >= 2.0 (np.bitwise_count; PYTHON=/path/to/python to choose) and a C compiler `cc` (128-bit integers: gcc/clang). No SAT solver.
+# Everything runs under `nice -n 10`, at most 6 processes at a time, each under `timeout 1200`; there are no wait loops.  Expected: about 30-40 minutes.
+#   0  MANIFEST.sha256
+#   1  data regeneration (gen.py, ~15 s) + Parity Lemma (ii) search (quad.py)
+#   2  Lemma S66 and S66+t, C implementation s66.c, plus the 7+7 control (3 processes)
+#   3  Lemma S66, independent implementation indep.py mode 0, 6 chunks (reps i::6)
+#   4  Lemma S66+t, independent implementation indep.py mode 1, 6 chunks
+#   5  check_logs.py: every assertion of the README as a PASS/FAIL line
+# Inherited inputs of #2816 are NOT recomputed here (see README section 2); this package re-runs everything that is new.
+set -uo pipefail
+HERE=$(cd "$(dirname "$0")" && pwd)
+OUT=${1:-$(mktemp -d "${TMPDIR:-/tmp}/six-multisets.XXXXXX")}
+mkdir -p "$OUT"; OUT=$(cd "$OUT" && pwd)
+case "$OUT/" in "$HERE"/*) echo "output dir must be outside the package"; exit 2;; esac
+PY="${PYTHON:-python3}"; export PYTHONDONTWRITEBYTECODE=1 OMP_NUM_THREADS=1 VECLIB_MAXIMUM_THREADS=1 OPENBLAS_NUM_THREADS=1
+TMO=""; command -v timeout >/dev/null 2>&1 && TMO="timeout 1200"; command -v gtimeout >/dev/null 2>&1 && TMO="gtimeout 1200"
+[ -n "$TMO" ] || { echo "need timeout or gtimeout"; exit 2; }
+WK="$OUT/work"; LOG="$OUT/logs"; mkdir -p "$WK" "$LOG"; : > "$OUT/all.out"; T0=$SECONDS
+echo "== 0. manifest"
+"$PY" -B "$HERE/checks/manifest_check.py" | tee -a "$OUT/all.out" | sed 's/^/   /'; grep -q '^FAIL' "$OUT/all.out" && { echo "step 0 FAILED"; exit 1; }
+cp "$HERE"/checks/*.py "$HERE"/checks/*.c "$HERE"/data/* "$WK"/
+cd "$WK"
+echo "== 1. data regeneration and Parity Lemma search"
+mkdir -p gen && ( cd gen && cp ../gen.py . && $TMO nice -n 10 "$PY" -B gen.py 77 > "$LOG/gen.log" 2>&1 )
+if cmp -s gen/data.txt data.txt && cmp -s gen/gens.txt gens.txt; then echo IDENTICAL > "$LOG/gen_cmp.log"; else echo DIFFERENT > "$LOG/gen_cmp.log"; fi
+$TMO nice -n 10 "$PY" -B quad.py > "$LOG/quad.log" 2>&1
+echo "== 2. s66.c (3 processes)"
+cc -O2 -o s66 s66.c 2> "$LOG/cc_s66.log" || { echo "cc failed"; exit 1; }
+for d in m0 m1 ctl; do mkdir -p "r_$d"; cp data.txt gens.txt "r_$d"/; done
+( cd r_m0  && $TMO nice -n 10 ../s66 0 6 > "$LOG/s66_m0.out"  2> "$LOG/s66_m0.err" ) &
+( cd r_m1  && $TMO nice -n 10 ../s66 1 6 > "$LOG/s66_m1.out"  2> "$LOG/s66_m1.err" ) &
+( cd r_ctl && $TMO nice -n 10 ../s66 0 7 > "$LOG/s66_ctl.out" 2> "$LOG/s66_ctl.err" ) &
+wait
+for mode in 0 1; do
+  echo "== $((3 + mode)). indep.py mode $mode, 6 chunks"
+  for c in 0 1 2 3 4 5; do
+    $TMO nice -n 10 "$PY" -B indep.py $mode $c 6 > "$LOG/indep_m${mode}_c$c.out" 2>&1 &
+  done
+  wait
+done
+echo "== 5. assertions (check_logs.py)"
+"$PY" -B "$HERE/checks/check_logs.py" "$LOG" | tee -a "$OUT/all.out" | sed 's/^/   /'
+npass=$(grep -c '^PASS' "$OUT/all.out"); nfail=$(grep -c '^FAIL' "$OUT/all.out")
+echo "== done in $((SECONDS - T0))s: $npass PASS, $nfail FAIL; logs in $OUT"
+[ "$nfail" = 0 ] && { echo "PASS: all assertions hold"; exit 0; }
+echo "FAIL"; exit 1