Research: projection matching obstruction for eight-source singleton lifts (partial result)

research/eight-source-lift-obstruction/OBSTRUCTION-RESULT.json

@@ -0,0 +1,74 @@
+{
+  "status": "PASS_PROJECTION_MATCHING_OBSTRUCTION",
+  "word": "341236425430103051216402",
+  "distinct_projected_states": 24,
+  "coverage": 128,
+  "unique_difference_matching": [
+    [
+      22,
+      24
+    ],
+    [
+      86,
+      30
+    ],
+    [
+      122,
+      70
+    ],
+    [
+      123,
+      0
+    ],
+    [
+      121,
+      66
+    ],
+    [
+      83,
+      113
+    ],
+    [
+      87,
+      98
+    ],
+    [
+      85,
+      8
+    ],
+    [
+      21,
+      81
+    ],
+    [
+      5,
+      26
+    ],
+    [
+      4,
+      114
+    ]
+  ],
+  "matching_size": 11,
+  "lifted_state_lower_bound": 35,
+  "minimum_vertex_cover_size": 11,
+  "closed_lift_word_length_lower_bound": 36,
+  "exhaustive_small_lift_subsets": 65805,
+  "universal_small_lifts": 41439,
+  "rejected_controls": 4,
+  "known_universal_upper_word": "01020103010201034546454745464547",
+  "nonuniversal_28_word": "5643251350361472024502071341",
+  "nonuniversal_28_missing_masks": [
+    19,
+    25,
+    27,
+    30,
+    51,
+    57,
+    59,
+    83,
+    89,
+    121
+  ],
+  "scope": "General written matching lemma and one fixed-projection exclusion; f(8) remains unresolved."
+}

research/eight-source-lift-obstruction/README.md

@@ -0,0 +1,205 @@
+# 八源 28 步问题：投影提升的匹配障碍（部分结果）
+
+## Reviewer summary (English)
+
+**Partial result; the eight-source 28-step question remains open. No new kappa.**
+This package proves a general projection obstruction and excludes one particular
+seven-source optimal projection. It does not exclude all 28-step words.
+
+For a nonempty projected set `Q`, let `G(Q)` have an edge `{u,v}` exactly when
+`u XOR v` has this unique unordered representation in `Q`. For a lift
+`P ⊆ Q × F₂` projecting onto `Q`, let `S` be the projected states whose fibers
+contain both layers. If `P + P` is the whole ambient space, `S` must cover every
+edge of `G(Q)`: otherwise the unique pair has only one layer parity and misses
+one of the two lifted differences. Hence
+`|P| = |Q| + |S| ≥ |Q| + τ(G(Q)) ≥ |Q| + ν(G(Q))`.
+This is a written proof for arbitrary dimension; the finite tests below are
+corroboration rather than its justification.
+
+For the 24-step seven-source word `341236425430103051216402`, all 24 prefix
+states are distinct and their differences cover `F₂⁷`. An explicit matching of
+11 unique-difference edges and a vertex cover of size 11 certify `τ = ν = 11`.
+Every universal lift with exactly this projected state set therefore needs at
+least 35 distinct states, or at least 36 steps for a closed singleton path.
+**The 36-step lower bound is conditional on this fixed projection, not a global
+bound on f(8), and attainability at 36 is not asserted.**
+
+The checker also verifies an exact static lift criterion against direct XOR
+enumeration on all 65,805 nonempty sets in dimensions 2–4, checks the known
+32-step Gray upper construction, and rejects four false controls. In particular,
+revisited projections invalidate the tempting general bound that the number of
+double-layer states is at most the number of new-coordinate calls.
+
+The exploratory logs are incomplete searches. The 28-step SMT run returned
+`unknown` after its timeout, not `unsat`. Normal and optimized standard-library
+checks reproduce `OBSTRUCTION-RESULT.json`; commands are in section 6.
+The detailed proof, certificates, attribution and limitations follow below.
+
+状态：**原问题尚未解决**。本轮得到一个一般必要条件、一个完整的固定投影排除证明，以及可复现的精确检查。没有证明所有 28 步候选不存在，没有把随机搜索或求解器超时当成排除证据，也没有提高已知的 `28 <= f(8) <= 32`。
+
+Prepared for Nicholas Stone with substantial OpenAI Codex assistance, 2026-10-24, Asia/Shanghai. New text/code: Apache-2.0. No independent human or proof-kernel review, and no historical novelty claim.
+
+## 1. 问题及已知前提
+
+在八维二进制空间中，从零开始，每一步翻转一个坐标，最终返回零。记长度为 L 的单坐标序列为 w，终点前的前缀状态集合为 P。通用性条件为
+
+\[
+P+P=\mathbb F_2^8.
+\]
+
+这里加法就是 XOR。源码与贡献背景见 [PR5234](https://github.com/CrocSwap/integer-mult-bounds/pull/5234) 和 [PR3058](https://github.com/CrocSwap/integer-mult-bounds/pull/3058)。本轮以 canonical main `1a3ced60b2f7a46bc70280a04f2eeb8ca027c700` 为来源；对应 README 路径为 `research/eight-source-singleton-floor/README.md` 和 `research/connector-covering-code/README.md`。
+
+conorholds 的 PR3058 证明 f(7)=24；本轮引用这一结果，没有重新运行其中排除较短序列的完整计算证明，也不将其视为所有最优 24 步序列的分类。Nick Petalas 的 PR5234 通过逐坐标删除推出 L>=28，并证明 28 步候选的次数只能是 `(4,4,4,4,4,4,2,2)`，允许重新编号。这些是前序结果，不是本轮贡献。Ross Richardson/PR943 的模型、Douglas Colkitt/PR1185 的 Gray 构造及原有贡献者保留署名。
+
+因此，28 步候选删去任一出现四次的坐标后，都会得到一个通用的七源 24 步序列。但其不同前缀状态数不一定是 24，不能未经证明就假定投影是简单环。
+
+## 2. 一般匹配障碍：完整证明
+
+设 Q 是 \(\mathbb F_2^n\) 的一个非空子集。对每个非零差值 d，记其无序表示集合
+
+\[
+R_d=\{\{u,v\}\subseteq Q:u\ne v,\ u+v=d\}.
+\]
+
+定义图 G(Q)：顶点是 Q；若 \(R_{u+v}=\{\{u,v\}\}\)，就在 u、v 之间连边。也就是说，边的差值在 Q 中只有这一种无序表示。
+
+考虑任意投影恰好等于 Q 的提升 \(P\subseteq Q\times\mathbb F_2\)。定义双层状态集合
+
+\[
+S=\{q\in Q:(q,0)\in P\text{ 且 }(q,1)\in P\}.
+\]
+
+**引理。** 如果 \(P+P=\mathbb F_2^{n+1}\)，则 S 是 G(Q) 的顶点覆盖。因而
+
+\[
+|P|=|Q|+|S|\ \ge\ |Q|+\tau(G(Q))\ \ge\ |Q|+\nu(G(Q)),
+\]
+
+其中 τ 是最小顶点覆盖大小，ν 是最大匹配大小。无需假定 G(Q) 是二分图。
+
+**证明。** 取 G(Q) 的任意一条边 {u,v}，令 d=u+v。由于其无序表示唯一，P 中产生差值 `(d,0)` 或 `(d,1)` 的点对，其投影只能是 u、v。若 u、v 均不属于 S，那么它们各只有一个提升，设为 `(u,a)`、`(v,b)`，因此只能产生 `(d,a+b)`，缺少另一个提升差值。这与通用性矛盾，所以至少一个端点属于 S。每条边均如此，S 必须是顶点覆盖。每个 q 的非空纤维有一个或两个点，故 `|P|=|Q|+|S|`。匹配的边两两不共顶点，每条边都需要一个覆盖顶点，故任何匹配大小都是 |S| 的下界。证毕。
+
+**对本题的后果。** 假定存在一个 28 步解。对六个出现四次的坐标 j，分别删除 j，得到投影集合 Q_j；每一个都必须满足
+
+\[
+|Q_j|+\nu(G(Q_j))\le 28.
+\]
+
+例如，若某个 Q_j 有 24 个不同状态，而且可以给出五条互不相交的唯一差值边，那么该候选立即被排除。对于只有 23 个不同状态的投影，需要六条这样的边；对于 22 个状态，需要七条。只找到一个违反条件的坐标就足够。
+
+这个条件只是必要条件。尚未证明所有七源 24 步投影都违反它，更没有证明存在满足它的实际 28 步闭合路径。
+
+## 3. 一个完整排除的七维最优投影
+
+本轮计算得到以下七源序列：
+
+```text
+341236425430103051216402
+```
+
+其长度为 24，坐标 0--4 各出现四次，5、6 各出现两次，终态为零。它有 24 个不同前缀状态，差集覆盖全部 128 个七位掩码。引用 f(7)=24，可以称它为七源最优序列。
+
+按访问顺序，其状态为
+
+```text
+0, 8, 24, 26, 30, 22, 86, 70, 66, 98, 114, 122,
+123, 121, 120, 112, 113, 81, 83, 87, 85, 21, 5, 4
+```
+
+下表是 11 条互不相交的唯一差值边。数字是二进制状态的十进制编码，不是序列位置。
+
+| u | v | u XOR v |
+|---:|---:|---:|
+|22|24|14|
+|86|30|72|
+|122|70|60|
+|123|0|123|
+|121|66|59|
+|83|113|34|
+|87|98|53|
+|85|8|93|
+|21|81|68|
+|5|26|31|
+|4|114|118|
+
+逐一枚举 Q 的全部 276 个无序点对，可以检查这些差值各自只有表中所列的一种表示，且 22 个端点互不相同。因此 ν>=11。
+
+另外，集合 `{24,26,66,81,83,85,86,87,70,114,123}` 覆盖 G(Q) 的全部边。因此 τ=ν=11；这里两个方向都有显式证书，不依赖通用顶点覆盖求解器。
+
+由引理，任何具有这个**固定投影集合**的八维通用状态集，都至少需要 `24+11=35` 个不同状态。长度 L 的闭合路径至多有 L 个不同前缀状态，而闭合单坐标路径的长度为偶数，因此
+
+\[
+L\ge36.
+\]
+
+特别地，在上述七源序列中任意插入四次新坐标调用，都不可能得到八源 28 步解。这里的 36 是固定投影条件下的下界，不是 f(8) 的下界，也没有宣称 36 可达。
+
+## 4. 精确的静态提升判据
+
+匹配条件还可补充为一个精确的集合层面判据。对每个不在 S 中的 q，令 c(q) 为其唯一提升的最后一位。
+
+P 通用当且仅当：
+
+1. S 非空，从而能产生纯新坐标差值 `(0,1)`；
+2. 对每个非零 d，以下至少一项成立：R_d 中有一对触及 S；或者所有表示都不触及 S，但这些表示的 `c(u) XOR c(v)` 同时取到 0 和 1。
+
+理由是逐个检查 `(d,0)` 与 `(d,1)`：触及双层状态的一对自动产生两种；否则只能由单层端点的颜色奇偶决定。零差值 `(0,0)` 自动存在。
+
+这是对固定提升集合 P 的充要条件，不是长度为 28 的路径可实现性条件。即使颜色分配满足它，仍须证明状态能按所需单坐标次数和闭合顺序访问。
+
+## 5. 必须保留的重复状态边界
+
+不能一般地说“双层状态数不超过新坐标调用次数”。反例是三维闭合序列
+
+```text
+2010120101
+```
+
+新坐标 2 只调用两次，但删除它后的投影重复遍历二维方块；四个投影状态全部在两层出现，故 |S|=4。它实际上访问全部八个三维状态。
+
+始终成立的是 `|S|=|P|-|Q|<=L-|Q|`。只有投影具有 24 个不同状态且 L=28 时，才能推出 |S|<=4。验证程序专门拒绝错误的通用上界。
+
+## 6. 验证与搜索结果
+
+必要条件的普遍性来自第 2 节证明。有限计算的用途是核对证书、判据实现以及失败边界。
+
+```sh
+python3 -I -W error -B research/eight-source-lift-obstruction/verify_obstruction.py
+python3 -I -O -W error -B research/eight-source-lift-obstruction/verify_obstruction.py
+```
+
+标准库即可。本轮 CPython 3.12.14 普通/优化执行输出一致，记录在 `OBSTRUCTION-RESULT.json`：
+
+- 检查七源序列、全部 276 对状态、11 边匹配及 11 顶点覆盖证书。
+- 枚举提升后维数为 2、3、4 的全部 65,805 个非空状态子集；其中 41,439 个通用。静态提升判据与直接差集枚举完全一致，所有通用实例都满足唯一差值边覆盖条件。
+- 复核已知的 32 步 Gray 上界构造。
+- 使用单独的连续区间 XOR 枚举，交叉核对一个 28 步搜索样本的差集；它只覆盖 246 个掩码，明确不是解。
+- 四个错误控制全部被拒绝，包括非唯一差值、重复匹配端点、无效端点以及错误的双层状态上界。
+
+`experiments/` 保存探索代码和日志，均不作为完整排除证书：
+
+- 28 步交换退火约 8,985 万次候选评估，最好覆盖 246/256；评估不保证互异。
+- 对 4,965 个采样得到的七源通用序列枚举四次新调用插入方式，评估 87,135,750 个提升，最好覆盖 242/256。七源父序列并未穷尽，也未去重，不能排除全部 28 步解。
+- 完整 28 步 SMT 模型在 180 秒后返回 `unknown`，原因为超时，不能记为 UNSAT。使用 Z3 5.3.1，仅探索脚本需要此依赖；把 z3-solver 安装到脚本旁的 `deps/` 即可复跑。
+- 附加的四种 30 步次数形状的启发式探测，以及对覆盖 255/256 的两个样本的局部改进，均未找到通用序列。这也不排除 30 步解。
+
+探索程序用固定随机种子、墙钟停止条件，所以不同机器的评估数量和最佳结果可能不同。数学证书和标准库验证程序不依赖这些随机结果。未运行全域穷举、独立求解器 UNSAT 证书检查、完整七源最优解分类或形式化证明。
+
+## 7. Open next questions / 精确剩余任务与接续方式
+
+目前仍只有已知界 `28 <= f(8) <= 32`。下一步要回答的是：是否存在一个可实现的七源 24 步投影，其唯一差值图允许足够小的顶点覆盖，并且四次新坐标切换能满足第 4 节的所有颜色条件？
+
+完整排除可以走两条路线：证明所有实际七源 24 步投影必有 `|Q|+τ(G(Q))>28`；或者保留满足这一必要条件的投影，再对四次切换位置作完整、带证书的剩余搜索。前一命题尚未建立，也可能过强；不能将它作为已证剪枝。匹配筛选失败只表示未排除，不表示存在合法提升。
+
+**Open next question:** Can all realizable seven-source 24-step projections be
+excluded by the matching/cover bound, or can any surviving projection support a
+28-step lift? This decides the next obstruction needed to settle the 28-step
+case. A feasible first step is to enumerate canonical seven-source parents,
+retain the full projected state sets (including repeated visits), and certify
+matching witnesses before exhaustively checking insertion positions. The blocker
+is the missing complete parent enumeration or a uniform theorem replacing it.
+Static color feasibility alone does not establish chronological path feasibility.
+
+This submission is an isolated partial research result. The earlier projection
+recurrence PR5416 concerns a different question. No selected result, frozen
+predecessor, shared checker or production code is changed.

research/eight-source-lift-obstruction/experiments/lift.cpp

@@ -0,0 +1,24 @@
+#define main anneal_main
+#include "search.cpp"
+#undef main
+int main(){
+ mt19937_64 rng(150725); vector<int>w; for(int i=0;i<7;i++)for(int j=0;j<(i<5?4:2);j++)w.push_back(i);
+ auto st=chrono::steady_clock::now(); int best=0,parents=0;long long lifts=0;
+ while(chrono::duration<double>(chrono::steady_clock::now()-st).count()<90){
+  shuffle(w.begin(),w.end(),rng);int cur=coverage(w);
+  for(int t=0;t<40000;t++){
+   int a=rng()%24,b=rng()%24;swap(w[a],w[b]);int c=coverage(w);double T=.1+2*pow(1-t/40000.,2);
+   if(c>=cur||generate_canonical<double,53>(rng)<exp((c-cur)/T))cur=c;else swap(w[a],w[b]);
+   if(cur!=128)continue;
+   parents++;
+   for(int a=0;a<24;a++)for(int b=a;b<24;b++)for(int c=b;c<24;c++)for(int d=c;d<24;d++){
+    vector<int>v;for(int i=0;i<24;i++){for(int x:{a,b,c,d})if(x==i)v.push_back(7);v.push_back(w[i]);}
+    int cov=coverage(v);lifts++;
+    if(cov>best){best=cov;cout<<"best "<<best<<" parents "<<parents<<" lifts "<<lifts<<" word ";for(int x:v)cout<<x;cout<<endl;}
+    if(cov==256)return 0;
+   }
+   break;
+  }
+ }
+ cout<<"INCOMPLETE sampled parents "<<parents<<" lifts "<<lifts<<" best "<<best<<endl;
+}

research/eight-source-lift-obstruction/experiments/lift.log

@@ -0,0 +1,37 @@
+best 152 parents 1 lifts 1 word 7777216351340643521034012024
+best 166 parents 1 lifts 2 word 7772716351340643521034012024
+best 171 parents 1 lifts 3 word 7772176351340643521034012024
+best 182 parents 1 lifts 4 word 7772167351340643521034012024
+best 184 parents 1 lifts 5 word 7772163751340643521034012024
+best 187 parents 1 lifts 8 word 7772163513740643521034012024
+best 189 parents 1 lifts 12 word 7772163513406473521034012024
+best 190 parents 1 lifts 16 word 7772163513406435217034012024
+best 195 parents 1 lifts 17 word 7772163513406435210734012024
+best 196 parents 1 lifts 39 word 7727163513406435217034012024
+best 200 parents 1 lifts 40 word 7727163513406435210734012024
+best 201 parents 1 lifts 74 word 7721673513740643521034012024
+best 204 parents 1 lifts 82 word 7721673513406435217034012024
+best 206 parents 1 lifts 83 word 7721673513406435210734012024
+best 209 parents 1 lifts 85 word 7721673513406435210347012024
+best 211 parents 1 lifts 350 word 7271673513740643521034012024
+best 213 parents 1 lifts 357 word 7271673513406435271034012024
+best 216 parents 1 lifts 358 word 7271673513406435217034012024
+best 218 parents 1 lifts 359 word 7271673513406435210734012024
+best 219 parents 1 lifts 361 word 7271673513406435210347012024
+best 221 parents 1 lifts 612 word 7217673513406435210734012024
+best 222 parents 1 lifts 614 word 7217673513406435210347012024
+best 223 parents 1 lifts 634 word 7217637513406435210347012024
+best 226 parents 1 lifts 863 word 7216737513406435210734012024
+best 228 parents 1 lifts 5305 word 2176735134064735210340120724
+best 229 parents 1 lifts 5515 word 2176375134064735210340120724
+best 230 parents 1 lifts 7285 word 2167375134064735210340127024
+best 231 parents 1 lifts 7286 word 2167375134064735210340120724
+best 232 parents 3 lifts 43104 word 4137253467432010520127461730
+best 234 parents 5 lifts 72668 word 7604305232643215701417207314
+best 236 parents 18 lifts 311878 word 3240142715030642731727630154
+best 237 parents 154 lifts 2688614 word 4746074502172304321316120753
+best 239 parents 154 lifts 2688691 word 4746074502123043217316120753
+best 240 parents 1426 lifts 25013236 word 4745301341237514760207120263
+best 241 parents 1967 lifts 34508061 word 4704502134212563731073761402
+best 242 parents 3092 lifts 54250857 word 0740251763714513420264732013
+INCOMPLETE sampled parents 4965 lifts 87135750 best 242

research/eight-source-lift-obstruction/experiments/refine30.cpp

@@ -0,0 +1,21 @@
+#define main anneal_main
+#include "search.cpp"
+#undef main
+int main(){
+ vector<string>seeds={"404623713412310507205215604053","035420602417513104317142306021"};
+ mt19937_64 rng(77202);long long trials=0;int best=255;auto st=chrono::steady_clock::now();
+ while(chrono::duration<double>(chrono::steady_clock::now()-st).count()<90){
+  vector<int>w;for(char c:seeds[rng()%seeds.size()])w.push_back(c-'0');int cur=coverage(w);
+  for(int t=0;t<100000;t++){
+   auto v=w;int a=rng()%30,b=rng()%30;if(a>b)swap(a,b);
+   int move=rng()%3;
+   if(move==0)swap(v[a],v[b]);
+   else if(move==1)reverse(v.begin()+a,v.begin()+b+1);
+   else rotate(v.begin()+a,v.begin()+a+1,v.begin()+b+1);
+   int c=coverage(v);double T=.15+.8*pow(1-t/100000.,2);trials++;
+   if(c>=cur||generate_canonical<double,53>(rng)<exp((c-cur)/T)){w=v;cur=c;}
+   if(cur==256){cout<<"WITNESS trials "<<trials<<" word ";for(int a:w)cout<<a;cout<<endl;return 0;}
+  }
+ }
+ cout<<"INCOMPLETE trials "<<trials<<" no witness"<<endl;
+}

research/eight-source-lift-obstruction/experiments/refine30.log

@@ -0,0 +1 @@
+INCOMPLETE trials 96800000 no witness

research/eight-source-lift-obstruction/experiments/search.cpp

@@ -0,0 +1,31 @@
+#include <algorithm>
+#include <array>
+#include <chrono>
+#include <cmath>
+#include <iostream>
+#include <random>
+#include <vector>
+using namespace std;
+int coverage(const vector<int>& w){
+ unsigned long long seen[4]={1,0,0,0}; int p[32],q=0;
+ for(int i=0;i<(int)w.size();i++){p[i]=q;q^=1<<w[i];}
+ for(int i=0;i<(int)w.size();i++)for(int j=0;j<i;j++){int x=p[i]^p[j];seen[x>>6]|=1ULL<<(x&63);}
+ return __builtin_popcountll(seen[0])+__builtin_popcountll(seen[1])+__builtin_popcountll(seen[2])+__builtin_popcountll(seen[3]);
+}
+int main(int argc,char**argv){
+ int seconds=argc>1?atoi(argv[1]):30; int dim=argc>2?atoi(argv[2]):8; int len=4*dim-4; mt19937_64 rng(20261024); vector<int>w;
+ for(int i=0;i<dim;i++)for(int j=0;j<(i<dim-2?4:2);j++)w.push_back(i);
+ auto start=chrono::steady_clock::now();int best=0;long long n=0; vector<int>bw;
+ while(chrono::duration<double>(chrono::steady_clock::now()-start).count()<seconds){
+  shuffle(w.begin(),w.end(),rng);int cur=coverage(w);
+  for(int t=0;t<20000;t++){
+   int a=rng()%len,b=rng()%len;if(w[a]==w[b])continue;
+   swap(w[a],w[b]);int c=coverage(w);double temp=0.15+2.5*pow(1-t/20000.0,2);
+   if(c>=cur||generate_canonical<double,53>(rng)<exp((c-cur)/temp))cur=c;else swap(w[a],w[b]);n++;
+   if(cur>best){best=cur;bw=w;cout<<"best "<<best<<" trials "<<n<<" word ";for(int v:bw)cout<<v;cout<<endl;}
+   if(best==(1<<dim))return 0;
+  }
+ }
+ cout<<"INCOMPLETE heuristic only trials "<<n<<" best "<<best<<endl;
+ return 0;
+}